Олимпиадные задачи по теме «Средние величины» - сложность 4 с решениями

  Пусть 2<i>S</i> – суммарный вес некоторого набора гирек. Назовём натуральное число <i>k средним</i>, если в наборе можно выбрать <i>k</i> гирек, суммарный вес которых равен <i>S</i>. Какое наибольшее количество средних чисел может иметь набор из 100 гирек?

Все имеющиеся на складе конфеты разных сортов разложены по <i>n</i> коробкам, на которые установлены цены в 1, 2, ..., <i>n</i>  у. е. соответственно. Требуется купить такие <i>k</i> из этих коробок наименьшей суммарной стоимости, которые содержат заведомо не менее <i>^k/_n</i> массы всех конфет. Известно, что масса конфет в каждой коробке не превосходит массы конфет в любой более дорогой коробке.

  а) Какие коробки следует купить при  <i>n</i> = 10  и  <i>k</i> = 3 ?

  б) Тот же вопрос для произвольных натуральных  <i>n ≥ k</i>.

Сумма <i>n</i> положительных чисел  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, <i>x</i>₃, ..., <i>x_n</i>  равна 1.

Пусть <i>S</i> – наибольшее из чисел   <img align="middle" src="/storage/problem-media/73692/problem_73692_img_2.gif">

Найдите наименьшее возможное значение <i>S</i>. При каких значениях  <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>  оно достигается?

а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это.

б) Из любых  2<i>n</i> – 1  целых чисел можно выбрать <i>n</i>, сумма которых делится на <i>n</i>. Докажите это.