Олимпиадные задачи по теме «Последовательности» для 9-10 класса - сложность 1 с решениями
Последовательности
НазадБесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.
Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?
Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?
Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?
Когда Буратино отправился на занятия ВМШ, папа Карло пообещал ему заплатить за первую правильно решенную задачу одну копейку, за вторую - две копейки, за третью - четыре, и т.д. За месяц Буратино получил 655 руб 35 коп. Сколько задач он решил?
На экране компьютера горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Программист Федя имеет возможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда не стало четырёхзначным?
Делится ли на 1999 сумма чисел1 + 2 + 3 +...+ 1999?
Доказать, что если целое <i>n</i> > 1, то 1<sup>1</sup>·2²·3³·...·<i>n<sup>n</sup> < n</i><sup><i>n</i>(<i>n</i>+1)/2</sup>.
Докажите следующие свойства функций <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) (определения функций <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">здесь</a>):
а) <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) = <img width="93" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61522/problem_61522_img_2.gif">, где <i>h<sub>m</sub></i>(<i>x</i>) = (1 – <i>x</i>)(1 – <i>x</i>²)...(1 – <i>x<sup>m</sup></i>) (<i>h</i><sub>0</sub>(<i>x</i>) = 1)...
Докажите, что геометрическая прогрессия{<i>a</i><sub>n</sub>} =<i>bx</i><sub>0</sub><sup>n</sup>удовлетворяет соотношению (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.2</a>) тогда и только тогда, когда<i>x</i><sub>0</sub>-- корень характеристического уравнения (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.3</a>) последовательности {<i>a</i><sub>n</sub>}.
<i>Определение.</i>Последовательность чисел<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>,...,<i>a</i><sub>n</sub>,..., которая удовлетворяет с заданными<i>p</i>и<i>q</i>соотношению<div><table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER"> <i>a</i><sub>n+2</sub>=<i>p</i><i>a</i><sub>n+1</sub>+<i>q</i><i>a</i><sub>n</sub> </td><td> (<i>n</i>=0,1,2,...)</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (11.2)</td></tr> </tab...
Найдите последовательность {<i>a</i><sub>n</sub>} такую, что$\Delta$<i>a</i><sub>n</sub>=<i>n</i><sup>2</sup>. Используя результат предыдущей задачи, получите формулу для суммы1<sup>2</sup>+ 2<sup>2</sup>+ 3<sup>2</sup>+...+<i>n</i><sup>2</sup>.
Пусть даны последовательности чисел {<i>a</i><sub>n</sub>} и {<i>b</i><sub>n</sub>}, связанные соотношением$\Delta$<i>b</i><sub>n</sub>=<i>a</i><sub>n</sub>, (<i>n</i>= 1, 2,...). Как связаны частичные суммы<i>S</i><sub>n</sub>последовательности {<i>a</i><sub>n</sub>}<div align="CENTER"> <i>S</i><sub>n</sub> = <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> +...+ <i>a</i><sub>n</sub> </div>с последовательностью {<i>b</i><sub>n</sub>}?
Найдите <table> <tr><td align="LEFT">а) $\Delta$<i>n</i><sup>2</sup>; </td> <td align="LEFT">в) $\Delta$<i>n</i><sup>k</sup>;</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) $\Delta$<i>n</i>(<i>n</i> - 1); </td> <td align="LEFT">д) $\Delta$<i>C</i><sub>n</sub><sup>k</sup>.</td> </tr> </table>
Докажите неравенство для натуральных <i>n</i> > 1: <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/60304/problem_60304_img_2.gif">
Докажите тождество:${\dfrac{1^2}{1\cdot3}}$+${\dfrac{2^2}{3\cdot5}}$+...+${\dfrac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}}$=${\dfrac{n(n+1)}{2(2n+1)}}$.
Докажите тождество: 1<sup>2</sup>+ 3<sup>2</sup>+...+ (2<i>n</i>- 1)<sup>2</sup>=$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$<i>n</i>(2<i>n</i>- 1)(2<i>n</i>+ 1).
Докажите тождество: 1<sup>2</sup>+ 2<sup>2</sup>+...+<i>n</i><sup>2</sup>=$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$<i>n</i>(<i>n</i>+ 1)(2<i>n</i>+ 1).
Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2<i>n</i>– 1) =<i>n</i><sup>2</sup>.
Величины углов при вершинах <i>A, B, C</i> треугольника <i>ABC</i> составляют арифметическую прогрессию с разностью <sup>π</sup>/<sub>7</sub>. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке <i>D</i>. Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> находятся на продолжениях отрезков <i>DA, DB, DC</i> за точки <i>A, B, C</i> соответственно, на одинаковом расстоянии от точки <i>D</i>. Докажите, что величины углов <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> также образуют арифметическую прогрессию. Найдите её...
Найдите наибольший член последовательности$x_n = \frac{n-1}{n^2+1}$.
Докажите, что сумма$\frac {1}{\sqrt {1} + \sqrt {2}} + \frac {1}{\sqrt {2} + \sqrt {3}} + \dots + \frac {1}{\sqrt {99} + \sqrt {100}}$является целым числом.
Имеются<b>552</b>гири весом<b>1</b>г,<b>2</b>г,<b>3</b>г, ...,<b>552</b>г. Разложите их на три равные по весу кучки.
Найти сумму а)<b>1+11+111+...+111...1</b>, где последнее число содержит<b><i>n</i></b>единиц; б)аналогичная задача, когда вместо единиц стоят пятерки.
Дорожно-ремонтная организация "Тише едешь - дальше будешь" занимается укладкой асфальта. Организация взяла обязательство покрыть асфальтом 100-километровый участок дороги. В первый день был заасфальтирован 1 км дороги. Далее, если уже заасфальтировано x км дороги, то в следующий день организация покрывает асфальтом еще 1/x км дороги. Докажите, что все же наступит тот день, когда организация "Тише едешь - дальше будешь" выполнит свое обязательство.