Олимпиадные задачи по теме «Последовательности» для 7-10 класса - сложность 1 с решениями
Последовательности
НазадБесконечная возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.
Последовательность из двух различных чисел продолжили двумя способами: так, чтобы получилась геометрическая прогрессия, и так, чтобы получилась арифметическая прогрессия. При этом третий член геометрической прогрессии совпал с десятым членом арифметической прогрессии. А с каким членом арифметической прогрессии совпал четвёртый член геометрической прогрессии?
Существует ли арифметическая прогрессия из 2011 натуральных чисел, в которой количество чисел, делящихся на 8, меньше, чем количество чисел, делящихся на 9, а последнее, в свою очередь, меньше, чем количество чисел, делящихся на 10?
Чему равна сумма цифр всех чисел от единицы до миллиарда?
На клетчатой бумаге нарисована фигура (см. рис. 1): в верхнем ряду — одна клеточка, во втором сверху — три клеточки, в следующем ряду — 5 клеточек, и т.д., всего рядов —<i>n</i>. Докажите, что общее число клеточек есть квадрат некоторого числа.<table> <tr><td>
_ ||_ ||||_ ||||||_ |||||||_| .....................
||||| ....... ||||| </pre> </td></tr> <tr><td>Рис. 1</td></tr> </table>
Когда Буратино отправился на занятия ВМШ, папа Карло пообещал ему заплатить за первую правильно решенную задачу одну копейку, за вторую - две копейки, за третью - четыре, и т.д. За месяц Буратино получил 655 руб 35 коп. Сколько задач он решил?
Найдите в последовательности 2, 6, 12, 20, 30, ... число, стоящее а) на 6-м; б) на 1994-м месте. Ответ объясните.
Начнём считать пальцы на правой руке: первый – мизинец, второй – безымянный, третий – средний, четвёртый – указательный, пятый – большой, шестой – снова указательный, седьмой – снова средний, восьмой – безымянный, девятый – мизинец, десятый – безымянный и т. д. Какой палец будет по счету 2004-м?
<b>Точные квадраты.</b>Доказать, что являются точными квадратами все числа вида 16; 1156; 111556 и т.д. (в середину предыдущего числа вставляется число 15).
Продолжите последовательность: 2, 6, 12, 20, 30, …
На экране компьютера горит число, которое каждую минуту увеличивается на 102. Начальное значение числа 123. Программист Федя имеет возможность в любой момент изменять порядок цифр числа, находящегося на экране. Может ли он добиться того, чтобы число никогда не стало четырёхзначным?
<np>Тринадцать индюшат клевали зерно. Первый индюшонок склевал 40 зёрен; второй – 60, каждый следующий – среднее арифметическое зёрен, склеванных всеми предыдущими индюшатами. Сколько зёрен склевал 10-й индюшонок? <h3>Подсказка</h3>Вспомните свойства среднего арифметического. <h3>Решение</h3>Третий индюшонок склевал (40 + 60):2 = 50 очков. Каждый следующий тоже склевал по 50 зёрен: если в группу чисел добавить число, равное среднему арифметическому этой группы, то среднее. арифметическое новой группы будет равно среднему арифметическому начальной группы. <h3>Ответ</h3>50 зёрен. <h3>Источники и прецеденты использования</h3> <div class="problemdetailssourcetablecontainer"> <table class="problemdetailssourcetabl...
По кругу записано больше трех натуральных чисел, сумма которых равна 37. Известно, что суммы любых трех последовательных чисел равны между собой. Какие числа написаны по кругу?
Найдите недостающие числа:<div align="center"><img src="/storage/problem-media/88161/problem_88161_img_2.gif"></div>
На какую цифру оканчивается число 1989<sup>1989</sup>? А на какие цифры оканчиваются числа 1989<sup>1992</sup>, 1992<sup>1989</sup>, 1992<sup>1992</sup>?
Делится ли на 1999 сумма чисел1 + 2 + 3 +...+ 1999?
Начнём считать пальцы на правой руке: первый – мизинец, второй – безымянный, третий – средний, четвёртый – указательный, пятый – большой, шестой – снова указательный, седьмой – снова средний, восьмой – безымянный, девятый – мизинец, десятый – безымянный и т.д. Какой палец будет по счёту 1992-м?
Замените знаки вопроса соответствующим числом:<div align="center"><img src="/storage/problem-media/87990/problem_87990_img_2.gif"></div>
Найдите два следующих числа:<div align="center"><img src="/storage/problem-media/87965/problem_87965_img_2.gif"></div>
Найдите два следующих числа:<div align="center"><img src="/storage/problem-media/87964/problem_87964_img_2.gif"></div>
Отличник Поликарп заполнил клетки таблицы цифрами так, что сумма цифр, стоящих в каждых трёх соседних клетках, равнялась 15, а двоечник Колька стёр почти все цифры. Сможете ли вы восстановить таблицу? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/87958/problem_87958_img_2.gif"></div>
Доказать, что если целое <i>n</i> > 1, то 1<sup>1</sup>·2²·3³·...·<i>n<sup>n</sup> < n</i><sup><i>n</i>(<i>n</i>+1)/2</sup>.
Докажите следующие свойства функций <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) (определения функций <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) смотри <a href="https://problems.ru/thes.php?letter=12#gaussa">здесь</a>):
а) <i>g<sub>k,l</sub></i>(<i>x</i>) = <img width="93" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/61522/problem_61522_img_2.gif">, где <i>h<sub>m</sub></i>(<i>x</i>) = (1 – <i>x</i>)(1 – <i>x</i>²)...(1 – <i>x<sup>m</sup></i>) (<i>h</i><sub>0</sub>(<i>x</i>) = 1)...
Докажите, что геометрическая прогрессия{<i>a</i><sub>n</sub>} =<i>bx</i><sub>0</sub><sup>n</sup>удовлетворяет соотношению (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.2</a>) тогда и только тогда, когда<i>x</i><sub>0</sub>-- корень характеристического уравнения (<a href="https://mirolimp.ru/tasks/161458">11.3</a>) последовательности {<i>a</i><sub>n</sub>}.
<i>Определение.</i>Последовательность чисел<i>a</i><sub>0</sub>,<i>a</i><sub>1</sub>,...,<i>a</i><sub>n</sub>,..., которая удовлетворяет с заданными<i>p</i>и<i>q</i>соотношению<div><table cellpadding="0" width="100%" align="CENTER"> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER"> <i>a</i><sub>n+2</sub>=<i>p</i><i>a</i><sub>n+1</sub>+<i>q</i><i>a</i><sub>n</sub> </td><td> (<i>n</i>=0,1,2,...)</td> <td nowrap width="10" align="RIGHT"> (11.2)</td></tr> </tab...