Олимпиадные задачи по теме «Модуль числа» для 10 класса - сложность 2 с решениями
Модуль числа
НазадПо кругу выписаны 1000 чисел. Петя вычислил модули разностей соседних чисел, Вася – модули разностей чисел, стоящих через одно, а Толя – модули разностей чисел, стоящих через два. Известно, что каждое Петино число больше любого Васиного хотя бы вдвое. Докажите, что каждое Толино число не меньше любого Васиного.
Доказать, что выражение <center><i>
<img src="/storage/problem-media/108970/problem_108970_img_2.gif">+<img src="/storage/problem-media/108970/problem_108970_img_3.gif">
</i></center> равно 2, если<i> 1<= a <= 2 </i>, и равно<i> 2<img src="/storage/problem-media/108970/problem_108970_img_4.gif"> </i>, если<i> a>2 </i>.
Бесконечная последовательность чисел <i>x<sub>n</sub></i> определяется условиями: <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = 1 – |1 – 2<i>x<sub>n</sub></i>|, причём 0 ≤ <i>x</i><sub>1</sub> ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда <i>x</i><sub>1</sub> рационально.
{<i>a<sub>n</sub></i>} – последовательность чисел между 0 и 1, в которой следом за <i>x</i> идёт 1 – |1 – 2<i>x</i>|.
а) Докажите, что если <i>a</i><sub>1</sub> рационально, то последовательность, начиная с некоторого места, периодическая.
б) Докажите, что если последовательность, начиная с некоторого места, периодическая, то <i>a</i><sub>1</sub> рационально.
Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1. Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке [–2, 2].
<i>X</i> – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа: 1, <i>X, X</i>², <i>X</i>³, <i>X</i><sup>4</sup>, ..., <i>X<sup>k</sup></i> (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.
Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \left\vert\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right.$$\displaystyle {\frac{x-y}{1-xy}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{x-y}{1-xy}}\right\vert$ < 1, </div>если |<i>x</i>| < 1 и |<i>y</i>| < 1.
Решить уравнение: <img width="134" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77908/problem_77908_img_2.gif"> + <img width="134" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/77908/problem_77908_img_3.gif"> = 1.
Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство |<i>x| + |y</i>| < 100?
Решить уравнение:<div align="CENTER"> | <i>x</i> + 1| - | <i>x</i>| + 3| <i>x</i> - 1| - 2| <i>x</i> - 2| = <i>x</i> + 2. </div>
Петя и Вася играют на отрезке $[0; 1]$, в котором отмечены точки $0$ и $1$. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждый ход игрок отмечает ранее не отмеченную точку отрезка. Если после хода очередного игрока нашлись три последовательных отрезка между соседними отмеченными точками, из которых можно сложить треугольник, то сделавший такой ход игрок объявляется победителем, и игра заканчивается. Получится ли у Пети гарантированно победить?
Про четыре целых числа $a,b,c,d$ известно, что $$ a+b+c+d=ab+bc+cd+da+1. $$ Докажите, что модули каких-то двух из этих чисел отличаются на один.