Олимпиадные задачи по теме «Формальные степенные ряды» - сложность 1-5 с решениями

Переменные<i>x</i>и<i>y</i>связаны равенством<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>y</i> + $\displaystyle {\frac{y^2}{2!}}$ + $\displaystyle {\frac{y^3}{3!}}$ +...+ $\displaystyle {\frac{y^n}{n!}}$ +... </div>Разложите<i>y</i>по степеням<i>x</i>.

Переменные<i>x</i>и<i>y</i>связаны равенством<div align="CENTER"> <i>x</i> = <i>y</i> + <i>y</i>² + <i>y</i>³ +...+ <i>y</i>ⁿ +... </div>Разложите<i>y</i>по степеням<i>x</i>.

Найдите общую формулу для коэффициентов ряда<div align="CENTER"> (1 - 4<i>x</i>)^{- $\scriptstyle {\textstyle\frac{1}{2}}$} = 1 + 2<i>x</i> + 6<i>x</i>² + 20<i>x</i>³ +...+ <i>a</i>_n<i>x</i>ⁿ +... </div>

Каков знак<i>n</i>-го члена в разложении произведения<div align="CENTER"> (1 - <i>a</i>)(1 - <i>b</i>)(1 - <i>c</i>)(1 - <i>d</i> )...= 1 - <i>a</i> - <i>b</i> + <i>ab</i> - <i>c</i> + <i>ac</i> + <i>bc</i> - <i>abc</i> - <i>d</i> +... </div>(<i>n</i>= 0, 1, 2,...)?

Определите коэффициент<i>a</i>_nв разложении<div align="CENTER"> (1 + <i>qx</i>)(1 + <i>qx</i>²)(1 + <i>qx</i>⁴)(1 + <i>qx</i>⁸)(1 + <i>qx</i>¹⁶)...= <i>a</i>₀ + <i>a</i>₁<i>x</i> + <i>a</i>₂<i>x</i>² + <i>a</i>₃<i>x</i>³ +... </div>

Функции <i>a, b</i> и <i>c</i> заданы рядами     <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61501/problem_61501_img_2.gif">     <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61501/problem_61501_img_3.gif">     <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/61501/problem_61501_img_4.gif">Докажите, что  <i>a</i>³ +<i>b</i>³ +<i>c</i>³ – 3<i>abc</i>= (1 +<i>x</i>³)^<i>n</i>.

Назовем<i>экспонентой</i>следующий степенной ряд:

Exp(<i>z</i>)=1+<i>z</i>+<i>z</i>²/2!+...+<i>z</i>ⁿ/n!+... Докажите следующие свойства экспоненты: а)Exp$\nolimits{^\prime}$(<i>z</i>) = Exp$\nolimits$(<i>z</i>);    б)Exp$\nolimits$(($\alpha$+$\beta$)<i>z</i>) = Exp$\nolimits$($\alpha$<i>z</i>)^.Exp$\nolimits$($\beta$<i>z</i>).

Докажите тождество:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER">(1 + <i>x</i> + <i>x</i>² +...+ <i>x</i>⁹)(1 + <i>x</i>¹⁰ + <i>x</i>²⁰ +...+ <i>x</i>⁹⁰)×</td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="CENTER">×(1 + <i>x</i>¹⁰⁰ + <i>x</i>²⁰⁰ +...+ <i>x</i>⁹⁰⁰)...= $\displaystyle {\dfrac{1}{1-x}}$.</td> </tr> </table> </div>

Вычислите производящие функции следующих последовательностей: <table> <tr><td align="LEFT">а) <i>a</i>_n = <i>n</i>;    б) <i>a</i>_n = <i>n</i>²;    в) <i>a</i>_n = <i>C</i>_mⁿ.</td> </tr> </table>

Пусть<i>F</i>(<i>x</i>) — производящая функция последовательности {<i>a</i>_n}. Докажите равенство$\left.\vphantom{a_n=\dfrac{F^{(n)}(x)}{n!}}\right.$<i>a</i>_n=${\dfrac{F^{(n)}(x)}{n!}}$$\left.\vphantom{a_n=\dfrac{F^{(n)}(x)}{n!}}\right\vert _{x=0}^{}$.

Вычислите: а) (1 +<i>x</i>)^-1;     б) (1 -<i>x</i>)^-1;    в) (1 -<i>x</i>)^-2.

<b>Обращение степенного ряда.</b>Докажите, что если<i>a</i>₀$\ne$0, то для ряда<i>F</i>(<i>x</i>) существует ряд<i>F</i>^-1(<i>x</i>) =<i>b</i>₀+<i>b</i>₁<i>x</i>+...+<i>b</i>_n<i>x</i>ⁿ+... такой, что<i>F</i>(<i>x</i>)<i>F</i>^-1(<i>x</i>) = 1.

Найдите произведения следующих формальных степенных рядов: <table> <tr><td align="LEFT">а) (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + <i>x</i>³ +...)(1 - <i>x</i> + <i>x</i>² - <i>x</i>³ +...);</td> </tr> <tr><td align="LEFT">б) (1 + <i>x</i> + <i>x</i>² + <i>x</i>³ +...)²;</td> </tr> <tr><td align="LEFT"> в) $\left(\vphantom{1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots}\right.$1 + <i>x</i> + ${\dfrac{x^2}{2!}}$ +...+ ${\dfrac{x^...