Олимпиадные задачи по теме «Дроби» для 6 класса - сложность 1-5 с решениями

Записаны шесть положительных несократимых дробей, сумма числителей которых равна сумме их знаменателей. Паша перевёл каждую из неправильных дробей в смешанное число. Обязательно ли найдутся два числа, у которых одинаковы либо целые части, либо дробные части?

Вася написал верное утверждение:

  "В этой фразе 1/3 всех цифр – цифры 3, а 1/2 всех цифр – цифры 1".

А Коля написал фразу:

  "В этой фразе 1/... всех цифр – цифры *, доли цифр * и * одинаковы и равны 1/..., а доля всех остальных цифр составляет 1/...".

Вставьте вместо звёздочек три разные цифры, а вместо многоточий – три разных числа так, чтобы получилось верное утверждение.

"А это вам видеть пока рано", – сказала Баба-Яга своим 33 ученикам и скомандовала: "Закройте глаза!" Правый глаз закрыли все мальчики и треть девочек. Левый глаз закрыли все девочки и треть мальчиков. Сколько учеников всё-таки увидели то, что видеть пока рано?

Какое наибольшее значение может принимать выражение   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115510/problem_115510_img_2.gif">   где <i>a, b, c</i> – попарно различные ненулевые цифры?

После того, как Наташа съела треть персиков из банки, уровень компота понизился на одну четверть.

На сколько (относительно нового уровня) понизится уровень компота, если съесть все оставшиеся персики?

Волк с тремя поросятами написал детектив "Три поросёнка-2", а потом вместе с Красной Шапочкой и её бабушкой кулинарную книгу "Красная Шапочка-2". В издательстве выдали гонорар за обе книжки поросёнку Наф-Нафу. Он забрал свою долю и передал оставшиеся 2100 золотых монет Волку. Гонорар за каждую книгу делится поровну между её авторами. Сколько денег Волк должен взять себе?

Петя тратит &frac13; своего времени на игру в футбол, &frac15; – на учебу в школе, &frac16; – на просмотр кинофильмов, ¹/₇₀ – на решение олимпиадных задач и &frac13; – на сон. Можно ли так жить?

Винни-Пух и Пятачок поделили между собой торт. Пятачок захныкал, что ему досталось мало. Тогда Пух отдал ему треть своей доли. От этого у Пятачка количество торта увеличилось втрое. Какая часть торта была вначале у Пуха и какая у Пятачка?

a) Придумайте три правильные несократимые дроби, сумма которых – целое число, а если каждую из этих дробей "перевернуть" (то есть заменить на обратную), то сумма полученных дробей тоже будет целым числом.

б) То же, но числители дробей – не равные друг другу натуральные числа.

Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых – целое число метров.

Верно ли, что периметр исходного прямоугольника – тоже целое число метров?

Расставьте по кругу шесть различных чисел так, чтобы каждое из них равнялось произведению двух соседних.

Числитель и знаменатель дроби – натуральные числа, дающие в сумме 101. Известно, что дробь не превосходит &frac13;.

Укажите наибольшее возможное значение такой дроби.

В папирусе Ринда (Древний Египет) среди прочих сведений содержатся разложения дробей в сумму дробей с числителем 1, например,

²/₇₃ = ¹/₆₀ + ¹/₂₁₉ + ¹/₂₉₂ + ¹/_<i>x</i>. Один из знаменателей здесь заменён буквой <i>x</i>. Найдите этот знаменатель.

После того, как Наташа съела половину персиков из банки, уровень компота понизился на одну треть.

На какую часть (от полученного уровня) понизится уровень компота, если съесть половину оставшихся персиков?

Как разделить семь яблок между 12 мальчиками, если ни одно яблоко нельзя резать более чем на пять частей?

Найдите все несократимые дроби, увеличивающиеся вдвое после увеличения и числителя и знаменателя на 10.

Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше чем доля блондинов среди всех людей.

Что больше: доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?

Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: "Здравствуйте, сто гусей!" Вожак стаи отвечает ему: "Нет, нас не сто гусей! Вот, если бы нас было столько, сколько есть, да еще столько, да еще полстолька, де еще четверть столька, да ты, гусь, с нами, вот тогда нас было бы сто гусей, а так..." Сколько же гусей было в стае?

Существуют ли такие натуральные числа <i>a</i> и <i>b</i>, что дроби  ^<i>a</i>/_<i>b</i>, ^<i>a</i>+1/_<i>b</i>, ^<i>a</i>+1/_<i>b</i>+1  несократимы?

Какое число нужно вычесть из числителя дроби ⁵³⁷/₄₆₃ и прибавить к знаменателю, чтобы после сокращения получить ¹/₉?

  Пошёл Иван-царевич искать похищенную Кощеем Василису Прекрасную. Навстречу ему Леший.

  – Знаю, – говорит, – я дорогу в Кощеево Царство, случалось, ходил туда. Шёл я четыре дня и четыре ночи. За первые сутки я прошёл треть пути – прямой дорогой на север. Потом повернул на запад, сутки продирался лесом и прошёл вдвое меньше. Третьи сутки я шёл лесом, уже на юг, и вышел на прямую дорогу, ведущую на восток. Прошагал я по ней за сутки 100 вёрст и попал в Кощеево царство. Ты ходок такой же резвый, как и я. Иди, Иван-царевич, глядишь, на пятый день будешь в гостях у Кощея.

  – Нет, – отвечал Иван-царевич, – если всё так, как ты говоришь, то уже завтра я увижу мою Василису Прекрасную.

  Прав ли он? Сколько вёрст прошёл Леший и сколько думает пройти Иван-царевич?

Какая из трех дробей наибольшая: 3/4, 4/5 или 5/6?

Найдите хотя бы одно решение неравенства0, 05 <<i>x</i>< 0, 051.

Бак был полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидона. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла половину его объёма, во втором бидоне вода заняла &frac23;, а в третьем бидоне – ¾ его объёма. Бак и все три бидона вмещают по целому числу литров. При каком наименьшем объёме бака возможна такая ситуация?

Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого &frac23; метра?