Олимпиадные задачи по теме «Дроби» для 3-6 класса - сложность 2 с решениями

Записаны шесть положительных несократимых дробей, сумма числителей которых равна сумме их знаменателей. Паша перевёл каждую из неправильных дробей в смешанное число. Обязательно ли найдутся два числа, у которых одинаковы либо целые части, либо дробные части?

Вася написал верное утверждение:

  "В этой фразе 1/3 всех цифр – цифры 3, а 1/2 всех цифр – цифры 1".

А Коля написал фразу:

  "В этой фразе 1/... всех цифр – цифры *, доли цифр * и * одинаковы и равны 1/..., а доля всех остальных цифр составляет 1/...".

Вставьте вместо звёздочек три разные цифры, а вместо многоточий – три разных числа так, чтобы получилось верное утверждение.

Волк с тремя поросятами написал детектив "Три поросёнка-2", а потом вместе с Красной Шапочкой и её бабушкой кулинарную книгу "Красная Шапочка-2". В издательстве выдали гонорар за обе книжки поросёнку Наф-Нафу. Он забрал свою долю и передал оставшиеся 2100 золотых монет Волку. Гонорар за каждую книгу делится поровну между её авторами. Сколько денег Волк должен взять себе?

Найдите все несократимые дроби, увеличивающиеся вдвое после увеличения и числителя и знаменателя на 10.

  Пошёл Иван-царевич искать похищенную Кощеем Василису Прекрасную. Навстречу ему Леший.

  – Знаю, – говорит, – я дорогу в Кощеево Царство, случалось, ходил туда. Шёл я четыре дня и четыре ночи. За первые сутки я прошёл треть пути – прямой дорогой на север. Потом повернул на запад, сутки продирался лесом и прошёл вдвое меньше. Третьи сутки я шёл лесом, уже на юг, и вышел на прямую дорогу, ведущую на восток. Прошагал я по ней за сутки 100 вёрст и попал в Кощеево царство. Ты ходок такой же резвый, как и я. Иди, Иван-царевич, глядишь, на пятый день будешь в гостях у Кощея.

  – Нет, – отвечал Иван-царевич, – если всё так, как ты говоришь, то уже завтра я увижу мою Василису Прекрасную.

  Прав ли он? Сколько вёрст прошёл Леший и сколько думает пройти Иван-царевич?

Бак был полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидона. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла половину его объёма, во втором бидоне вода заняла ⅔, а в третьем бидоне – ¾ его объёма. Бак и все три бидона вмещают по целому числу литров. При каком наименьшем объёме бака возможна такая ситуация?

У математика есть набор из 16 гирь: 1/3 кг, 1/4 кг, 1/5 кг, ..., 1/18 кг. На левой чаше весов лежит груз 1 кг. Какие гири положить на правую чашу весов, чтобы уравновесить груз? (Достаточно привести один пример.)

Петя загадал положительную несократимую дробь $x = \frac{m}{n}$. За один ход Вася называет положительную несократимую дробь $y$, не превосходящую 1, и Петя в ответ сообщает Васе числитель несократимой дроби, равной сумме $x+y$. Как Васе за два хода гарантированно узнать $x$?

В сумме П,Я + Т,Ь + Д,Р + О,Б + Е,Й все цифры зашифрованы буквами (разными буквами — разные цифры). Оказалось, что все пять слагаемых не целые, но сама сумма является целым числом. Каким именно? Для каждого возможного ответа напишите один пример с такими пятью слагаемыми. Объясните, почему другие суммы получить нельзя.

Можно ли в равенстве   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66062/problem_66062_img_2.gif">   заменить звездочки цифрами от 1 до 9, взятыми по одному разу, так, чтобы равенство стало верным?

Поставьте в каждом из шести чисел по одной запятой так, чтобы равенство стало верным:  2016 + 2016 + 2016 + 2016 + 2016 = 46368.

Мальвина записала по порядку 2016 обыкновенных правильных дробей: ½, &frac13;, &frac23;, ¼, ²/₄, ¾, ... (в том числе, и сократимые). Дроби, значение которых меньше чем ½, она покрасила в красный цвет, а остальные дроби – в синий. На сколько количество красных дробей меньше количества синих?

Впишите вместо звёздочек шесть различных цифр так, чтобы все дроби были несократимыми, а равенство верным:  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65605/problem_65605_img_2.png">.

На полке стоят, плотно прилегая друг к другу, две книги по 250 листов в каждой (см. рисунок). Каждая из обложек в 10 раз толще бумаги, на которой напечатаны обе книги. В каждую книгу вложена закладка. Расстояние между закладками втрое меньше общей толщины двух книг. Между какими листами лежит закладка во второй книге, если в первой книге она лежит посередине?<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65496/problem_65496_img_2.png"></div>

Замените $\ast$ одинаковыми числами так, чтобы равенство стало верным: $$\frac{20}{\ast} - \frac{\ast}{15} = \frac{20}{15}$$

Из спичек выложено неверное равенство (см. рисунок). Покажите, как переложить одну спичку, чтобы получилось равенство, в котором значения левой и правой частей различаются меньше, чем на 0,1.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/64507/problem_64507_img_2.gif"></div>

Винни-Пух, Пятачок, Кролик и ослик Иа-Иа опустошили бочонок меда. При этом Пятачок съел половину того, что съел Винни-Пух, Кролик – половину того, что не съел Винни-Пух, а ослику Иа-Иа досталась лишь десятая часть бочонка. Какая часть бочонка досталась Кролику?

В турнире по шахматам участвуют мастера спорта и кандидаты в мастера. Какое наименьшее число людей может участвовать в этом турнире, если известно, что среди них мастеров меньше половины, но больше 45%.

a) Решить в целых числах уравнение  ¹/_<i>a</i>+¹/_<i>b</i>+¹/_<i>c</i>= 1. б)  ¹/_<i>a</i>+¹/_<i>b</i>+¹/_<i>c</i>< 1  (<i>a, b, c</i>– натуральные числа). Доказать, что  ¹/_<i>a</i>+¹/_<i>b</i>+¹/_<i>c</i><⁴¹/₄₂.

<i>a, b, c</i> – натуральные числа и &nbsp¹/_<i>a</i> + 1/_<i>b</i> + 1/_<i>c</i> < 1.  Докажите, что &nbsp¹/_<i>a</i> + 1/_<i>b</i> + 1/_<i>c</i> ≤ ⁴¹/₄₂.