Олимпиадные задачи по теме «Алгебраические неравенства и системы неравенств» для 6 класса - сложность 2-5 с решениями

Найдите все пары простых чисел <i>p</i> и <i>q</i>, обладающие следующим свойством:  7<i>p</i> + 1  делится на <i>q</i>, а  7<i>q</i> + 1  делится на <i>p</i>.

Какое из чисел больше:  1 – 2 + 3 – 4 + 5 – ... + 99 – 100  или  1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – ... – 99 + 100?

У кассира было 30 монет: 10, 15 и 20 копеек на сумму 5 рублей. Докажите, что 20-копеечных монет у него было больше, чем 10-копеечных.

Из спичек составлены три неверных равенства (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/88248/problem_88248_img_2.gif"></div>Переставьте в каждом ряду по одной спичке так, чтобы все равенства стали верными. Можно смещать части формулы без изменения рисунка.

Дама сдавала в багаж рюкзак, чемодан, саквояж и корзину. Известно, что чемодан весит больше, чем рюкзак;  саквояж и рюкзак весят больше, чем чемодан и корзина;  корзина и саквояж весят столько же, сколько чемодан и рюкзак. Перечислите вещи дамы в порядке убывания их веса.

Дано 25 чисел. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Замените каждую букву на схеме цифрой от 1 до 9 так, чтобы выполнялись все неравенства, а затем расставьте буквы в порядке возрастания их числовых значений. Какое слово у вас получилось? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/87968/problem_87968_img_2.gif"></div>

Дано 25 чисел. Сумма любых четырех из них положительна. Докажите, что сумма их всех тоже положительна.

a) Решить в целых числах уравнение  ¹/_<i>a</i>+¹/_<i>b</i>+¹/_<i>c</i>= 1. б)  ¹/_<i>a</i>+¹/_<i>b</i>+¹/_<i>c</i>< 1  (<i>a, b, c</i>– натуральные числа). Доказать, что  ¹/_<i>a</i>+¹/_<i>b</i>+¹/_<i>c</i><⁴¹/₄₂.

а) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников?

б) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет полного подграфа из четырёх вершин?

Докажите, что если  <i>x + y + z ≥ xyz</i>,  то  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² ≥ <i>xyz</i>.

Докажите, что три неравенства  <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30927/problem_30927_img_2.gif">  не могут быть все верны одновременно, если числа<i>a</i>₁,<i>a</i>₂,<i>a</i>₃,<i>b</i>₁,<i>b</i>₂,<i>b</i>₃положительны.

<i>a, b, c, d</i> – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств

  1)  <i>a + b < c + d</i>;

  2)  (<i>a + b</i>)<i>cd < ab</i>(<i>c + d</i>);

  3)  (<i>a + b</i>)(<i>c + d</i>) < <i>ab + cd</i>

неверно.

<i>x, y</i> > 0.  Через <i>S</i> обозначим наименьшее из чисел <i>x</i>, ¹/_<i>y</i>,  <i>y</i> + ¹/_<i>x</i>.  Какое максимальное значение может принимать величина <i>S</i>?

Докажите, что для любого <i>x</i> выполнено неравенство  <i>x</i>⁴ – <i>x</i>³ + 3<i>x</i>² – 2<i>x</i> + 2 ≥ 0.

Докажите, что   <img width="348" height="56" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30922/problem_30922_img_2.gif">

<i>x, y, z</i>   положительные числа. Докажите неравенство   <img width="202" height="45" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30921/problem_30921_img_2.gif">

<i>a, b, c</i> – натуральные числа и &nbsp¹/_<i>a</i> + 1/_<i>b</i> + 1/_<i>c</i> < 1.  Докажите, что &nbsp¹/_<i>a</i> + 1/_<i>b</i> + 1/_<i>c</i> ≤ ⁴¹/₄₂.

<i>x, y</i> – числа из отрезка  [0, 1].  Докажите неравенство   <img width="140" height="45" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/30919/problem_30919_img_2.gif">

<i>a, b, c</i> > 0  и  <i>abc</i> = 1.  Известно, что   <i>a + b + c</i> > ¹/_<i>a</i> + ¹/_<i>b</i> + ¹/_<i>c</i>.  Докажите, что ровно одно из чисел <i>a, b, c</i> больше 1.

Существует ли набор чисел, сумма которых равна 1, а сумма их квадратов меньше 0,01?

<i>a, b, c, d</i> ≥ 0,  причём  <i>c + d ≤ a,  c + d ≤ b</i>.  Докажите, что  <i>ad + bc ≤ ab</i>.

1 > <i>x > y</i> > 0.  Докажите, что   <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/30915/problem_30915_img_2.gif">

<i>n</i> – натуральное число. Докажите, что   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/30914/problem_30914_img_2.gif">

Докажите, что  100! < 50¹⁰⁰.