Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 4-5 с решениями

Боковые стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> трапеции <i>ABCD</i> являются соответственно хордами окружностей ω₁ и ω₂, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг <i>AB</i> и <i>CD</i> равны α и β. Окружности ω₃ и ω₄ также имеют хорды <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно. Их дуги <i>AB</i> и <i>CD</i>, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω₃ и ω₄ тоже касаются.

Пусть <i>I</i> – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Через <i>A</i>₁ обозначим середину дуги <i>BC</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, не содержащей точки <i>A</i>, а через <i>A</i>₂ – середину дуги <i>BAC</i>. Перпендикуляр, опущенный из точки <i>A</i>₁ на прямую <i>A</i>₂<i>I</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>A'</i>. Аналогично определяются точки <i>B'</i> и <i>C'</i>.

  а) Докажите, что точки <i>A'</i>, <i>B'</i>...

Докажите, что в неравнобедренном треугольнике одна из окружностей, касающихся вписанной и описанной окружностей внутренним, а одной из вневписанных внешним образом, проходит через вершину треугольника.

Вписанная окружность остроугольного треугольника <i>ABC</i> касается его сторон <i>AB, BC, CA</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно. Пусть <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ – середины отрезков <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC, P</i> – одна из точек пересечения прямой <i>CO</i> с вписанной окружностью. Прямые <i>PA</i><s...

Вписанная в треугольник <i>ABC</i> окружность касается сторон <i>BC, CA, AB</i> в точках <i>A', B', C'</i> соответственно. Перпендикуляр, опущенный из центра <i>I</i> этой окружности на медиану <i>CM</i>, пересекает прямую <i>A'B'</i> в точке <i>K</i>. Докажите, что  <i>CK || AB</i>.