Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
В трапеции <i>ABCD</i> стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> параллельны, и <i>AB = BC = BD</i>. Высота <i>BK</i> пересекает диагональ <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Найдите ∠<i>CDM</i>.
В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> с прямым углом <i>C</i> угол <i>A</i> равен 30°, точка <i>I</i> – центр вписанной окружности <i>ABC, D</i> – точка пересечения отрезка <i>BI</i> с этой окружностью. Докажите, что отрезки <i>AI</i> и <i>CD</i> перпендикулярны.
Пусть <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> – высоты неравнобедренного остроугольного треугольника <i>AB, M</i> – середина <i>AB</i>. Описанные окружности треугольников <i>AMA</i><sub>1</sub> и <i>BMB</i><sub>1</sub>, пересекают прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Докажите, что <i>K, M</i> и <i>L</i> лежат на одной прямой.
Трапеция <i>ABCD</i> и параллелограмм <i>MBDK</i> расположены так, что стороны параллелограмма параллельны диагоналям трапеции (см. рис.). Докажите, что площадь серой части равна сумме площадей черных частей.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116085/problem_116085_img_2.png"></div>
Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата.
Биссектриса угла <i>C</i> и внешнего угла <i>A</i> трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>M</i>, а биссектриса угла <i>B</i> и внешнего угла <i>D</i> – в точке <i>N</i>. Докажите, что середина отрезка <i>MN</i> равноудалена от прямых <i>AB</i> и <i>CD</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> высота <i>AH</i> делит медиану <i>BM</i> пополам. Докажите, что из медиан треугольника <i>ABM</i> можно составить прямоугольный треугольник.
Квадрат <i>ABCD</i> и равносторонний треугольник <i>MKL</i> расположены так, как это показано на рисунке. Найдите угол <i>PQD</i>. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65225/problem_65225_img_2.png"></div>
В треугольнике <i>ABC</i> высота <i>AH</i> проходит через середину медианы <i>BM</i>.
Докажите, что в треугольнике <i>BMC</i> также одна из высот проходит через середину одной из медиан.
В прямоугольном треугольнике <i>ABC CH</i> – высота, проведённая к гипотенузе. Окружность с центром <i>H</i> и радиусом <i>CH</i> пересекает больший катет <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Точка <i>B'</i> симметрична точке <i>B</i> относительно <i>H</i>. В точке <i>B'</i> восставлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке <i>K</i>. Докажите, что:
а) <i>B'M || BC</i>;
б) <i>AK</i> – касательная к окружности.
Прямая, проходящая через вершину <i>B</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекает сторону <i>AC</i> в точке <i>K</i>, а описанную окружность в точке <i>M</i>.
Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников <i>AMK</i>.
Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Описанные окружности треугольников <i>AOB</i> и <i>COD</i> пересекаются в точке <i>M</i> на стороне <i>AD</i>. Докажите, что точка <i>O</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>BMC</i>.
Петя вырезал из пластмассы неравносторонний треугольник. Покажите, каким образом можно, пользуясь только этим инструментом как шаблоном, построить биссектрису какого-нибудь угла треугольника, равного вырезанному.
Треугольник <i>ABC</i> равнобедренный (<i>AB = BC</i>). Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AB</i>, точка <i>P</i> – середина отрезка <i>CM</i>, точка <i>N</i> делит сторону <i>BC</i> в отношении 3 : 1 (считая от вершины <i>B</i>). Докажите, что <i>AP = MN</i>.