Олимпиадные задачи по математике для 11 класса
На плоскости задано <i>n</i> точек, являющихся вершинами выпуклого <i>n</i>-угольника, <i>n</i> > 3. Известно, что существует ровно <i>k</i> равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.
а) Докажите, что <i>k</i> < <sup>2<i>n</i></sup>/<sub>3</sub>.
б) Приведите пример конфигурации, для которой <i>k</i> > 0,666<i>n</i>.
В окружность вписан шестиугольник <i>ABCDEF. K, L, M, N</i> – точки пересечения пар прямых <i>AB</i> и <i>CD, AC</i> и <i>BD, AF</i> и <i>DE, AE</i> и <i>DF</i>.
Докажите, что если три из этих точек лежат на одной прямой, то и четвёртая точка лежит на этой прямой.
Пусть <i>ABCD</i> – трапеция, в которой углы <i>A</i> и <i>B</i> прямые, <i>AB = AD, CD = BC + AD, BC < AD</i>.
Докажите, что угол <i>ADC</i> в два раза больше угла <i>ABE</i>, где <i>E</i> – середина <i>AD</i>.
На окружности с диаметром <i>AC</i> выбрана произвольная точка <i>B</i>, отличная от <i>A</i> и <i>C</i>. Пусть <i>M, N</i> – середины хорд <i>AB, BC</i>, а <i>P, Q</i> – середины меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Прямые <i>AQ</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>K</i>, а прямые <i>CP</i> и <i>AB</i> – в точке <i>L</i>.
Докажите, что прямые <i>MQ, NP</i> и <i>KL</i> пересекаются в одной точке.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>. Точки <i>C'</i> и <i>D'</i> диаметрально противоположны точкам <i>C</i> и <i>D</i> соответственно. Касательные к окружности в точках <i>C'</i> и <i>D'</i> пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> (<i>A</i> лежит между <i>E</i> и <i>B, B</i> – между <i>A</i> и <i>F</i>). Прямая <i>EO</i> пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>, а прямая <i>FO</i> пересекает стороны <i>AD</i> и <i>BD...
На плоскости даны <i>n</i> (<i>n</i> > 2) точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколькими различными способами это множество точек можно разбить на два непустых подмножества так, чтобы выпуклые оболочки этих подмножеств не пересекались?
Окружности ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> касаются друг друга внешним образом в точке <i>P</i>. Из точки <i>A</i> окружности ω<sub>2</sub>, не лежащей на линии центров окружностей, проведены касательные <i>AB, AC</i> к ω<sub>1</sub>. Прямые <i>BP, CP</i> вторично пересекают ω<sub>2</sub> в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Докажите, что прямая <i>EF</i>, касательная к ω<sub>2</sub> в точке <i>A</i>, и общая касательная к окружностям в точке <i>P</i> пересекаются в одной точке.
Дана окружность ω и точка <i>A</i> вне её. Через <i>A</i> проведены две прямые, одна из которых пересекает ω в точках <i>B</i> и <i>C</i>, а другая – в точках <i>D</i> и <i>E</i> (<i>D</i> лежит между <i>A</i> и <i>E</i>). Прямая, проходящая через <i>D</i> и параллельная <i>BC</i>, вторично пересекает ω в точке <i>F</i>, а прямая <i>AF</i> – в точке <i>T</i>. Пусть <i>M</i> – точка пересечения прямых <i>ET</i> и <i>BC</i>, а <i>N</i> – точка, симметричная <i>A</i> относительно <i>M</i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>DEN</i&g...
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> взята произвольная точка <i>C</i><sub>1</sub>. Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> на лучах <i>BC</i> и <i>AC</i> таковы, что ∠<i>AC</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> = ∠<i>BC</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub> = ∠<i>ACB</i>. Прямые <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>C</i><sub>2</sub>. Докажите, что все прямые <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub> п...