Олимпиадные задачи по математике для 1-7 класса
Дан квадрат <i>ABCD</i>. На стороне <i>AD</i> внутрь квадрата построен равносторонний треугольник <i>ADE</i>. Диагональ <i>AC</i> пересекает сторону <i>ED</i> этого треугольника в точке <i>F</i>. Докажите, что <i>CE = CF</i>.
Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i> с основанием <i>AC</i>. Доказать, что конец <i>D</i> отрезка <i>BD</i>, выходящего из вершины <i>B</i>, параллельного основанию и равного боковой стороне треугольника, является центром вневписанной окружности треугольника.
Даны две окружности, касающиеся друг друга внутренним образом в точке <i>A</i>); из точки <i>B</i> большей окружности, диаметрально противоположной точке <i>A</i>, проведена касательная <i>BC</i> к меньшей окружности. Прямые <i>BC</i> и <i>AC</i> пересекает большую окружность в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Докажите, что дуги <i>DE</i> и <i>BE</i> равны.
Диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> равнобедренной трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>; известно также, что в трапецию можно вписать окружность.
Докажите, что ∠<i>BOC</i> > 60°.
Вокруг равнобедренного треугольника <i>ABC</i> с основанием <i>AC</i> описана окружность ω. Точка <i>F</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>; продолжение высоты <i>CE</i> пересекает ω в точке <i>G</i>. Докажите, что высота <i>AD</i> является касательной к описанной окружности треугольника <i>GBF</i>.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CD$. На отрезках $AD$ и $CD$ построены равносторонние треугольники $AED$ и $CFD$, так что точка $E$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $AB$, что и $C$, а точка $F$ лежит в той же полуплоскости относительно прямой $CD$, что и $B$. Прямая $EF$ пересекает катет $AC$ в точке $L$. Докажите, что $FL=CL+LD$.
В треугольнике <i>ABC AB = BC</i>. Из точки <i>E</i> на стороне <i>AB</i> опущен перпендикуляр <i>ED</i> на <i>BC</i>. Оказалось, что <i>AE = ED</i>. Найдите угол <i>DAC</i>.