Олимпиадная задача по планиметрии: высота, касательная и ортоцентр в окружности
Задача
Вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность ω. Точка F – ортоцентр треугольника ABC; продолжение высоты CE пересекает ω в точке G. Докажите, что высота AD является касательной к описанной окружности треугольника GBF.
Решение
Пусть H – точка пересечения AB и окружности ω1, описанной вокруг треугольника GBF. Поскольку точка, симметричная ортоцентру треугольника относительно его стороны, принадлежит описанной окружности этого треугольника (см. задачу 155463), то G симметрична F относительно AB. Таким образом, BH – диаметр ω1 и ∠BFH = 90°. Значит, HF || AC, откуда ∠FBH = ∠ABF = ∠ACF = ∠CAF = ∠AFH . Следовательно, AD – касательная к ω1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет