Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
На доске записано 101 число: 1², 2², ..., 101². За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности.
Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций?
В пространстве с декартовой системой координат дан прямоугольный параллелепипед, вершины которого имеют целочисленные координаты. Его объём равен 2011. Докажите, что рёбра параллелепипеда параллельны координатным осям.
В выражении (<i>x</i><sup>4</sup> + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + <i>x</i> + 2)<sup>2006</sup> раскрыли скобки и привели подобные слагаемые.
Докажите, что при некоторой степени переменной <i>x</i> получился отрицательный коэффициент.
Существует ли вписанный в окружность $N$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов, если
а) $N$ = 19;
б) $N$ = 20?
Существует ли вписанный в окружность $19$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?
Докажите, что любая натуральная степень многочлена <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i><sup>4</sup> + <i>x</i>³ – 3<i>x</i>² + <i>x</i> + 2 имеет хотя бы один отрицательный коэффициент.
Можно ли все натуральные делители числа 100! (включая 1 и само число) разбить на две группы так, чтобы в обеих группах было одинаковое количество чисел и произведение чисел первой группы равнялось произведению чисел второй группы?