Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 2-4 с решениями

Саша написал по кругу в произвольном порядке не более ста различных натуральных чисел, а Дима пытается угадать их количество. Для этого Дима сообщает Саше в некотором порядке несколько номеров, а затем Саша сообщает Диме в том же порядке, какие числа стоят под указанными Димой номерами, если считать числа по часовой стрелке, начиная с одного и того же числа. Сможет ли Дима заведомо угадать количество написанных Сашей чисел, сообщив

  а) 17 номеров;

  б) менее 16 номеров?

Известно, что всякую треугольную пирамиду, противоположные рёбра которой попарно равны, можно так разрезать вдоль трёх её рёбер и развернуть, чтобы её развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов (см. рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116574/problem_116574_img_2.gif"></div>Найдётся ли еще какой-нибудь выпуклый многогранник, который можно так разрезать вдоль нескольких его рёбер и развернуть, чтобы его развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов?

Сравните между собой наименьшие положительные корни многочленов  <i>x</i>²⁰¹¹ + 2011<i>x</i> – 1  и  <i>x</i>²⁰¹¹ – 2011<i>x</i> + 1.

Докажите, что если числа <i>x, y, z</i> при некоторых значениях <i>p</i> и <i>q</i> являются решениями системы

     <i>y = xⁿ + px + q,  z = yⁿ + py + q,  x = zⁿ + pz + q</i>,

то выполнено неравенство  <i>x</i>²<i>y + y</i>²<i>z + z</i>²<i>x ≥ x</i>²<i>z + y</i>²<i>x + z</i>²<i>y</i>.

Рассмотрите случаи   а)  <i>n</i> = 2;   б)  <i>n</i> = 2010.

Докажите, что при любом разбиении ста "двузначных" чисел 00, 01, ..., 99 на две группы некоторые числа хотя бы одной группы можно записать в ряд так, чтобы каждые два соседних числа этого ряда отличались друг от друга на 1, 10 или 11, и хотя бы в одном из двух разрядов (единиц или десятков) встречались все 10 различных цифр.

Моток ниток проткнули насквозь 72 цилиндрическими спицами радиуса 1 каждая, в результате чего он приобрел форму цилиндра радиуса 6. Могла ли высота этого цилиндра оказаться также равной 6?

На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает<i>n</i>точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Может ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (<i>n</i>+1)²попыток?

В выпуклом многограннике обозначим через B, P и T соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что {$\text{В}\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}\geqslant 2\text{Р}$}. Например, для тетраэдра ($\text{В}=4$, $\text{Р}=6$, $\text{Т}=3$) выполняется равенство, а для треугольной призмы ($\text{В}=6$, $\text{Р}=9$, $\text{Т}=1$) или куба ($\text{В}=8$, $\text{Р}=12$, $\text{Т}=0$) имеет место строгое неравенство.

Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение \begin{align*} &a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\+&a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots\ \ldots+&a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0 \end{align*} имеет хотя бы один действительный корень.

Каждая точка плоскости раскрашена в один из трех цветов. Обязательно ли найдется треугольник площади 1, все вершины которого имеют одинаковый цвет?

Существует ли такой выпуклый четырехугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию?

На сторонах выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $ABC_1$, $BCD_1$, $CDE_1$, $DEF_1$, $EFA_1$ и $FAB_1$. Оказалось, что треугольник $B_1D_1F_1$ правильный. Докажите, что треугольник $A_1C_1E_1$ также правильный.

На сторонах выпуклого шестиугольника <i>ABCDEF</i> во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники <i>ABC</i>₁, <i>BCD</i>₁, <i>CDE</i>₁, <i>DEF</i>₁, <i>EFA</i>₁ и <i>FAB</i>₁. Оказалось, что треугольник <i>B</i>₁<i>D</i>₁<i>F</i>₁ – равносторонний. Докажите, что треугольник <i>A</i>₁<i>C</i>₁<i>E</i>₁ также равносторонний.

Внутри треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>D</i>, что  <i>BD = CD</i>,  ∠<i>BDC</i> = 120°.  Вне треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>E</i>, что  <i>AE = CE</i>,  ∠<i>AEC</i> = 60°  и точки <i>B</i> и <i>E</i> находятся в разных полуплоскостях относительно <i>AC</i>. Докажите, что  ∠<i>AFD</i> = 90°,  где <i>F</i> – середина отрезка <i>BE</i>.

Детектив Ниро Вульф расследует преступление. В деле замешаны 80 человек, среди которых один – преступник, еще один – свидетель преступления (но неизвестно, кто это). Каждый день детектив может пригласить к себе одного или нескольких из этих 80 человек, и если среди приглашенных есть свидетель, но нет преступника, то свидетель сообщит, кто преступник. Может ли детектив заведомо раскрыть дело за 12 дней?

Три велосипедиста ездят в одном направлении по круглому треку длиной 300 метров. Каждый из них движется со своей постоянной скоростью, все скорости различны. Фотограф сможет сделать удачный снимок велосипедистов, если все они окажутся на каком-либо участке трека длиной <i>d</i> метров. При каком наименьшем <i>d</i> фотограф рано или поздно заведомо сможет сделать удачный снимок?

Про приведённый многочлен  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>xⁿ</i> + <i>a</i>_<i>n</i>–1<i>x</i>^<i>n</i>–1 + ... + <i>a</i>₁<i>x + a</i>₀  с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном

<i>m</i> ≥ 2  многочлен  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65692/problem_65692_img_2.gif">  имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) имеет действительные корни, причём только положительные?

Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись квадрата которого оканчивается на 2016.

Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя её точками было:

  а) меньше ⁴/₅;

  б) меньше ⁴/₇?

Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.

Докажите, что в таблице 8×8 нельзя расставить натуральные числа от 1 до 64 (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата 2×2 вида  <img align="middle" src="/storage/problem-media/65205/problem_65205_img_2.png">  было выполнено равенство  |<i>ad – bc</i>| = 1.

Поверхность выпуклого многогранника <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>A</i>₂<i>B</i>₂<i>C</i>₂ состоит из восьми треугольных граней <i>A_iB_jC_k</i>, где <i>i, j, k</i> меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке <i>O</i> касается всех этих граней. Докажите, что точка <i>O</i> и середины трёх отрезков <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i><sub>2</sub&g...

У повара в подчинении десять поварят, некоторые из которых дружат между собой. Каждый рабочий день повар назначает одного или нескольких поварят на дежурство, а каждый из дежурных поварят уносит с работы по одному пирожному каждому своему недежурящему другу. В конце дня повар узнает количество пропавших пирожных. Сможет ли он за 45 рабочих дней понять, кто из поварят дружит между собой, а кто нет?

Саша обнаружил, что на калькуляторе осталось ровно <i>n</i> исправных кнопок с цифрами. Оказалось, что любое натуральное число от 1 до 99999999 можно либо набрать, используя лишь исправные кнопки, либо получить как сумму двух натуральных чисел, каждое из которых можно набрать, используя лишь исправные кнопки. Каково наименьшее <i>n</i>, при котором это возможно?