Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 2-3 с решениями
Внутри треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>O</i>, что ∠<i>ABO</i> = ∠<i>CAO</i>, ∠<i>BAO</i> = ∠<i>BCO</i>, ∠<i>BOC</i> = 90°. Найдите отношение <i>AC</i> : <i>OC</i>.
Кривая на плоскости в некоторой системе координат (декартовой) служит графиком функции <i>y</i> = sin <i>x</i>. Может ли та же кривая являться графиком функции <i>y</i> = sin <sup>2</sup><i>x</i> в другой системе координат: если да, то каковы её начало координат и единицы длины на осях (относительно исходных координат и единиц длины)?
Моток ниток проткнули насквозь 72 цилиндрическими спицами радиуса 1 каждая, в результате чего он приобрел форму цилиндра радиуса 6. Могла ли высота этого цилиндра оказаться также равной 6?
Когда из бассейна сливают воду, уровень<i> h </i>воды в нём меняется в зависимости от времени<i> t </i>по закону <center><i>
h</i>(<i>t</i>)<i>=at<sup>2</sup>+bt+c,
</i></center> а в момент<i> t<sub>0</sub> </i>окончания слива выполнены равенства<i> h</i>(<i>t<sub>0</sub></i>)<i>=h'</i>(<i>t<sub>0</sub></i>)<i>=</i>0. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
На доске написано: <i>x</i>³ + ...<i>x</i>² + ...<i>x</i> + ... = 0. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?
В основании <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> пирамиды <i>SA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> лежит точка <i>O</i>, причём <i>SA</i><sub>1</sub> = <i>SA</i><sub>2</sub> = ... = <i>SA<sub>n</sub></i> и ∠<i>SA</i><sub>1</sub><i>O</i> = ∠<i>SA</i><sub>2</sub><i>O</i> = ... = ∠<i>SA<sub>n</sub>O</i>.
При каком наименьшем значении <i>n</i> отсюда следует, что <i>SO</i> – высота пирамиды?
Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами.
Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 250. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 250. Какие значения при этих условиях может принимать величина<i>n</i><sup>2</sup><i>d</i>, где<i>d</i>- разность прогрессии, а<i>n</i>- число ее членов?
Имеются чашечные весы, которые находятся в равновесии, если разность масс на их чашах не превосходит 1 г, а также гири массами ln 3, ln 4, ..., ln 79 г.
Можно ли разложить все эти гири на чаши весов так, чтобы весы находились в равновесии?