Олимпиадная задача: когда SO – высота пирамиды? Планиметрия и стереометрия, 10–11 класс

  По теореме синусов для треугольников SA_kO  (k = 1, 2, ..., n)  

  Так как правая часть этого равенства не зависит от выбора  k = 1, 2, ..., n,  величина sin∠SOA_k также не зависит от этого выбора. Следовательно, при различном выборе k величина угла SOA_k может принимать не более двух различных значений, каждое из которых вместе с величинами длин SO, SA_k и угла SOA_k однозначно определяет треугольник SA_kO.

  Если  n ≥ 5,  то среди треугольников SA_kO  (k = 1, 2, ..., 5)  есть по крайней мере три одинаковых. Пусть это, для определенности, треугольники SA₁O, SA₂O и SA₃O. Так как  OA₁ = OA₂ = OA₃, точка O – центр описанной окружности треугольника A₁A₂A₃. Пусть SH – высота пирамиды SA₁A₂A₃. Тогда точка H также является центром описанной около A₁A₂A₃ окружности, то есть  H = O.

  При  n = 4  из условия не следует, что SO – высота пирамиды. Например, если A₁A₂A₃A₄ – равнобокая трапеция, O – точка пересечения её диагоналей, H – центр описанной около неё окружности, то для пирамиды SA₁A₂A₃A₄, в которой SH является высотой к основанию, выполнены все условия задачи. Действительно, во-первых,   SA₁ = SA₂ = SA₃ = SA₄  в силу равенства (по двум катетам) треугольников SHA₁, SHA₂, SHA₃ и SHA₄, а во-вторых,

∠SA₁O = ∠SA₂O = ∠SA₃O = ∠SA₄O  в силу равенства (по трём сторонам) равнобедренных треугольников SA₁A₃ и SA₂A₄. При этом  H ≠ O.  При  n ≤ 4  из условия тем более не следует, что SO – высота пирамиды (соответствующий пример получается из предыдущего рассмотрением его части – пирамиды SA₁A₂A₃ ).

При  n = 5.