Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 2 с решениями
Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма каждых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося?
Петя выбрал натуральное число <i>a</i> > 1 и выписал на доску пятнадцать чисел 1 + <i>a</i>, 1 + <i>a</i>², 1 + <i>a</i>³, ..., 1 + <i>a</i><sup>15</sup>. Затем он стёр несколько чисел так, что каждые два оставшихся числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел могло остаться на доске?
Найдите все такие числа <i>a</i>, что для любого натурального <i>n</i> число <i>an</i>(<i>n</i> + 2)(<i>n</i> + 4) будет целым.
Даны числа <i>a, b, c</i>.
Докажите, что хотя бы одно из уравнений <i>x</i>² + (<i>a – b</i>)<i>x</i> + (<i>b – c</i>) = 0, <i>x</i>² + (<i>b – c</i>)<i>x</i> + (<i>c – a</i>) = 0, <i>x</i>² + (<i>c – a</i>)<i>x</i> + (<i>a – b</i>) = 0 имеет решение.
Найдите какое-нибудь такое девятизначное число <i>N</i>, состоящее из различных цифр, что среди всех чисел, получающихся из <i>N</i> вычеркиванием семи цифр, было бы не более одного простого.
В средней клетке полоски 1×2005 стоит фишка. Два игрока по очереди сдвигают ее: сначала первый игрок передвигает фишку на одну клетку в любую сторону, затем второй передвигает ее на 2 клетки, 1-й – на 4 клетки, 2-й – на 8 и т.д. (<i>k</i>-й сдвиг происходит на2<i><sup>k-</sup></i>1 клеток). Тот, кто не может сделать очередной ход, проигрывает. Кто может выиграть независимо от игры соперника?
Двое по очереди выписывают на доску натуральные числа от 1 до 1000. Первым ходом первый игрок выписывает на доску число 1. Затем очередным ходом на доску можно выписать либо число2<i>a </i>, либо число<i> a+</i>1, если на доске уже написано число<i> a </i>. При этом запрещается выписывать числа, которые уже написаны на доске. Выигрывает тот, кто выпишет на доску число 1000. Кто выигрывает при правильной игре?
Можно ли все клетки таблицы 9×2002 заполнить натуральными числами так, чтобы суммы чисел в каждом столбце и суммы чисел в каждой строке были бы простыми числами?
Можно ли клетки доски 5×5 покрасить в 4 цвета так, чтобы клетки, стоящие на пересечении любых двух строк и любых двух столбцов, были покрашены не менее чем в три цвета?
Существуют ли 19 таких попарно различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, что их сумма равна 1999?
Назовём натуральное число <i>интересным</i>, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?
За круглым столом сидят 2015 человек, каждый из них – либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Им раздали по одной карточке, на каждой карточке написано по числу; при этом все числа на карточках различны. Посмотрев на карточки соседей, каждый из сидящих за столом сказал: "Мое число больше, чем у каждого из двух моих соседей". После этого <i>k</i> из сидящих сказали: "Мое число меньше, чем у каждого из двух моих соседей". При каком наибольшем <i>k</i> это могло случиться?