Олимпиадные задачи по математике для 8-11 класса - сложность 4 с решениями
Последовательность<i> a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,.. </i>такова, что<i> a<sub>1</sub><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_2.gif"></i>(1<i>,</i>2)и<i> a<sub>k+</sub></i>1<i>=a<sub>k</sub>+<img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115397/problem_115397_img_3.gif"> </i>при любом натуральном <i> k </i>. Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.
Дима посчитал факториалы всех натуральных чисел от80 до 99, нашел числа, обратные к ним, и напечатал получившиеся десятичные дроби на 20 бесконечных ленточках (например, на последней ленточке было напечатано число<i> <img align="abscenter" src="/storage/problem-media/111849/2.gif">=</i>0<i>, <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111849/3.gif"></i>10715<i>.. </i>). Саша хочет вырезать из одной ленточки кусок, на котором записано<i> N </i>цифр подряд и нет запятой. При каком наибольшем<i> N </i>он сможет это сделать так, чтобы Дима не смог определить по этому куску, какую ленточку испортил Саша?
Саша написал на доске ненулевую цифру и приписывает к ней справа по одной ненулевой цифре, пока не выпишет миллион цифр. Докажите, что на доске не более 100 раз был написан точный квадрат.
Для некоторого многочлена существует бесконечное множество его значений, каждое из которых многочлен принимает по крайней мере в двух целочисленных точках. Докажите, что существует не более одного значения, которое многочлен принимает ровно в одной целой точке.
Докажите, что для любого натурального числа <i>a</i><sub>1</sub> > 1 существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ...,
что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/109599/problem_109599_img_2.gif"> делится на <i>a</i><sub>1</sub> + <i>a</i><sub>2</sub> + ... + <i>a<sub>k</sub></i> при всех <i>k</i> ≥ 1.