Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями

Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)

Каждый катет прямоугольного треугольника увеличили на единицу. Могла ли его гипотенуза увеличиться более, чем на  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115349/problem_115349_img_2.gif"> ?

25 мальчиков и несколько девочек собрались на вечеринке и обнаружили забавную закономерность. Если выбрать любую группу не меньше чем из 10 мальчиков, а потом добавить к ним всех девочек, знакомых хотя бы с одним из этих мальчиков, то в получившейся группе число мальчиков окажется на 1 меньше, чем число девочек. Докажите, что некоторая девочка знакома не менее чем с 16 мальчиками.

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом <i>k</i>  (1 ≤ <i>k</i> ≤ 25)  в любых <i>k</i> коробках лежат шарики ровно  <i>k</i> + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.

<i> N </i>цифр – единицы и двойки – расположены по кругу. Изображенным назовем число, образуемое несколькими цифрами, расположенными подряд (по часовой стрелке или против часовой стрелки). При каком наименьшем значении<i> N </i>все четырехзначные числа, запись которых содержит только цифры 1 и 2, могут оказаться среди изображенных?

В числе<i> A </i>цифры идут в возрастающем порядке (слева направо). Чему равна сумма цифр числа9<i>· A </i>?

Лист бумаги имеет форму круга. Можно ли провести на нем пять отрезков, каждый из которых соединяет две точки на границе листа так, чтобы среди частей, на которые эти отрезки делят лист, нашлись пятиугольник и два четырехугольника?

Известно, что клетчатый квадрат можно разрезать на <i>n</i> одинаковых фигурок из <i>k</i> клеток.

Докажите, что его можно разрезать и на <i>k</i> одинаковых фигурок из <i>n</i> клеток.

На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?

100 идущих подряд натуральных чисел отсортировали по возрастанию суммы цифр, а числа с одинаковой суммой цифр – просто по возрастанию. Могли ли числа 2010 и 2011 оказаться рядом?

Занумеруем все простые числа в порядке возрастания:  <i>p</i>₁ = 2,  <i>p</i>₂ = 3,  ... .

Может ли среднее арифметическое   <img align="middle" src="/storage/problem-media/65076/problem_65076_img_2.gif">   при каком-нибудь  <i>n</i> ≥ 2  быть простым числом?

В компании из шести человек любые пять могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.