Олимпиадные задачи по математике для 10 класса

Имеется 40 одинаковых газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут быть различны. Разрешается соединять любые баллоны друг с другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа <i>k</i>, а затем разъединять их; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения. При каком наименьшем <i>k</i> существует способ уравнивания давлений во всех 40 баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах?

Найдите наибольшее натуральное $n$, обладающее следующим свойством: для любого простого нечетного $p$, меньшего $n$, разность  $n - p$  также является простым числом.

На доске $6\times6$ расставили шесть не угрожающих друг другу ладей. Затем каждое не занятое ладьёй поле покрасили по такому правилу: если ладьи, угрожающие этому полю, находятся от него на одинаковом расстоянии, то это поле закрашивают в красный цвет, а если на разном – то в синий цвет. Могли ли все не занятые поля оказаться

  а) красными;

  б) синими?

Ковёр имеет форму квадрата со стороной 275 см. Моль проела в нем четыре дырки. Можно ли гарантированно вырезать из ковра квадратный кусок со стороной 1 м, не содержащий дырок? Дырки считайте точечными.

Дано  2<i>n</i> + 1  число (<i>n</i> – натуральное), среди которых одно число равно 0, два числа равны 1, два числа равны 2, ..., два числа равны <i>n</i>. Для каких <i>n</i> эти числа можно записать в одну строку так, чтобы для каждого натурального <i>m</i> от 1 до <i>n</i> между двумя числами, равными <i>m</i>, было расположено ровно <i>m</i> других чисел?