Олимпиадные задачи по математике для 7 класса - сложность 2 с решениями
Можно ли при каком-то натуральном<i> k </i>разбить все натуральные числа от 1 до<i> k </i>на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа?
В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны.
Докажите, что все восемь отрезков равны.
Докажите, что числа от 1 до 15 нельзя разбить на две группы: <i>A</i> из двух чисел и <i>B</i> из 13 чисел так, чтобы сумма чисел в группе <i> B </i> была равна произведению чисел в группе <i>A</i>.
Докажите, что числа от 1 до 16 можно записать в строку, но нельзя записать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была квадратом натурального числа.
Известно, что уравнение <i>ax</i><sup>5</sup> + <i>bx</i><sup>4</sup> + <i>c</i> = 0 имеет три различных корня. Докажите, что уравнение <i>cx</i><sup>5</sup> + <i>bx + a</i> = 0 также имеет три различных корня.
Целые числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что (<i>x – y</i>)(<i>y – z</i>)(<i>z – x</i>) = <i>x + y + z</i>. Докажите, что число <i>x + y + z</i> делится на 27.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Точка <i>A</i><sub>1</sub> симметрична вершине <i>A</i> относительно прямой <i>BC</i>, а точка <i>C</i><sub>1</sub> симметрична вершине <i>C</i> относительно прямой <i>AB</i>.
Докажите, что если точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i> и <i>C</i><sub>1</sub> лежат на одной прямой и <i>C</i><sub>1</sub><i>B</i> = 2<i>A</i><sub>1</sub><i>B</i>, то угол <i>CA</i><sub>1</sub><i>B</i> – прямой.
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?