Олимпиадные задачи из источника «4 (2011 год)» для 9-10 класса - сложность 3 с решениями

Илья Муромец встречает трёхголового Змея Горыныча. И начинается битва. Каждую минуту Илья отрубает Змею одну голову. С вероятностью ¼ на месте срубленной головы вырастает две новых, с вероятностью ⅓ – только одна новая голова и с вероятностью ⁵/₁₂ – ни одной головы. Змей считается побеждённым, если у него не осталось ни одной головы. Найдите вероятность того, что рано или поздно Илья победит Змея.

Рассеянный Ученый в своей лаборатории вывел одноклеточный организм, который с вероятностью 0,6 делится на два таких же организма, а с вероятностью 0,4 погибает, не оставив потомства. Найдите вероятность того, что через некоторое время у Рассеянного Ученого не останется ни одного такого организма.

Илья Муромец встречает трёхголового Змея Горыныча. Каждую минуту Илья отрубает одну голову Змею. Пусть <i>x</i> – живучесть Змея  (<i>x</i> > 0).  Вероятность <i>p_s</i> того, что на месте отрубленной головы вырастет <i>s</i> новых голов  (<i>s</i> = 0, 1, 2),  равна  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65325/problem_65325_img_2.gif">  В течение первых 10 минут сражения Илья записывал, сколько голов вырастало на месте каждой срубленной. Получился следующий вектор:  <i>K</i> = (1, 2, 2, 1, 0, 2, 1, 0, 1, 2).  Найдите такое значение живучести Змея, при котором вероятность вектора <i>K</i> наибольшая.

По свистку учителя физкультуры все 10 мальчиков и 7 девочек выстроились в шеренгу в случайном порядке – кто куда успел.

Найдите математическое ожидание величины "Число девочек, стоящих левее всех мальчиков".

  На шкуре у Носорога складки – вертикальные и горизонтальные. Если у Носорога на левом боку <i>a</i> вертикальных, <i>b</i> горизонтальных складок, а на правом – <i>c</i> вертикальных и <i>d</i> горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии  (<i>abcd</i>)  или просто Носорог  (<i>abcd</i>).

  Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз, и у Носорога на этом боку есть две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки разглаживаются. Если двух таких складок нет, то ничего не происходит.

  Аналогично если Носорог чешется боком вперед-назад, и на этом боку есть две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдётся, то ничего не происходит.

  Е...

  У короля Артура два одинаково мудрых советника — Мерлин и Персифаль. Каждый из них находит верный ответ на любой вопрос с вероятностью <i>p</i> или неверный ответ – с вероятностью  <i>q</i> = 1 – <i>p</i>.

  Если оба советника говорят одно и то же, король слушается их. Если они говорят противоположное, то король выбирает решение, подбрасывая монету.

  Однажды Артур задумался – зачем ему два советника, не хватит ли одного? Тогда король позвал советников и сказал:

  – Мне кажется, что вероятность принятия верных решений не уменьшится, если оставлю одного советника и буду его слушаться. Если это так, я должен уволить одного из вас. Если это не так, я оставлю все, как есть. Ответьте мне, должен ли я уволить одного из вас?

  – Кого именно ты собира...

Точку <i>O</i>, лежащую внутри треугольника <i>ABC</i>, соединили отрезками с вершинами треугольника. Докажите, что дисперсия набора углов <i>AOB, AOC</i> и <i>BOC</i> меньше чем

  а) ^10π²/₂₇;

  б) ^2π²/₉.

Муха двигается из начала координат только вправо или вверх по линиям целочисленной сетки (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.

  а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.

  б) Найдите математическое ожидание ординаты Мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.