Олимпиадные задачи из источника «3 (2010 год)» для 2-8 класса - сложность 2-4 с решениями

В автобусе <i>n</i> мест, и все билеты проданы <i>n</i> пассажирам. Первым в автобус заходит Рассеянный Учёный и, не посмотрев на билет, занимает первое попавшееся место. Далее пассажиры входят по одному. Если вошедший видит, что его место свободно, он занимает свое место. Если же место занято, то вошедший занимает первое попавшееся свободное место. Найдите вероятность того, что пассажир, вошедший последним, займет место согласно своему билету?

Верхняя сторона бумажного квадрата белая, а нижняя – красная. В квадрате случайным образом выбирается точка <i>F</i>. Затем квадрат сгибают так, чтобы одна случайно выбранная вершина наложилась на точку <i>F</i>. Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося красного многоугольника. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65305/problem_65305_img_2.png"></div>

Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 3.

  а) Рассеянный Учёный вычислил дисперсию длин сторон этого треугольника и нашёл, что она равняется 2. Не ошибся ли он в расчетах?

  б) Какое наименьшее стандартное отклонение сторон может иметь такой прямоугольный треугольник? Какие у него при этом катеты?

Служить на подводной лодке может матрос, рост которого не превышает 168 см. Есть четыре команды А, Б, В и Г. Все матросы в этих командах хотят служить на подводной лодке и прошли строгий отбор. Остался последний отбор – по росту.

  В команде А средний рост матросов равен 166 см.

  В команде Б медиана роста матросов равна 167 см.

  В команде В самый высокий матрос имеет рост 169 см.

  В команде Г мода роста матросов равна 167 см.

В какой команде по крайней мере половина матросов точно может служить на подводной лодке?

В финал конкурса спектаклей к 8 Марта вышли два спектакля. В первом играли <i>n</i> учеников 5 класса А, а во втором – <i>n</i> учеников 5 класса Б. На спектакле присутствовали 2<i>n</i> мам всех 2<i>n</i> учеников. Лучший спектакль выбирается голосованием мам. Известно, что ровно половина мам честно голосует за лучший спектакль, а другая половина в любом случае голосует за спектакль, в котором участвует её ребенок.

  а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с перевесом голосов.  б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух спектаклей.

В финал конкурса спектаклей к 8 Марта вышли два спектакля. В первом играли <i>n</i> учеников 5 класса А, а во втором – <i>n</i> учеников 5 класса Б. На спектакле присутствовали 2<i>n</i> мам всех 2<i>n</i> учеников. Лучший спектакль выбирается голосованием мам. Известно, что каждая мама с вероятностью ½ голосует за лучший спектакль и с вероятностью ½ – за спектакль, в котором участвует её ребенок.

  а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с перевесом голосов.

  б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух классов.

На новогоднюю ёлку повесили 100 лампочек в ряд. Затем лампочки стали переключаться по следующему алгоритму: зажглись все, через секунду погасла каждая вторая лампочка, ещё через секунду каждая третья лампочка переключилась: если горела, то погасла и наоборот. Через секунду каждая четвёртая лампочка переключилась, ещё через секунду – каждая пятая и так далее. Через 100 секунд всё закончилось. Найдите вероятность того, что случайно выбранная после этого лампочка горит (лампочки не перегорают и не бьются).

На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие.

  а) Кнопка со знаком умножения сломалась и не работает. Рассеянный Учёный нажал несколько кнопок в случайной последовательности. Какой результат получившейся цепочки действий более вероятен – чётное число или нечётное?

  б) Решите предыдущую задачу, если кнопку со знаком умножения починили. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65296/problem_65296_img_2.png"></div>