Олимпиадные задачи из источника «10 (2017 год)» для 11 класса - сложность 1-5 с решениями
10 (2017 год)
НазадСогласно одной неправдоподобной легенде, Коши и Буняковский очень любили по вечерам играть в дартс. Но мишень у них была необычная – секторы на ней были неравные, так что вероятности попасть в разные секторы были не одинаковы. Однажды Коши бросил дротик и попал в мишень. Следующим бросает Буняковский. Что более вероятно: что Буняковский попадёт в тот же сектор, в который попал Коши, или что он попадёт в следующий сектор по часовой стрелке? <div align="center"><img src="/storage/problem-media/66057/problem_66057_img_2.gif"></div>
Неправдоподобная легенда гласит, что однажды Стирлинг размышлял над числами Стирлинга второго рода и в задумчивости бросал на стол 10 правильных игральных костей. После очередного броска он вдруг заметил, что в выпавшей комбинации очков присутствуют все числа от 1 до 6. Тут же Стирлинг задумался, а какова же вероятность такого события? Какова вероятность, что при бросании 10 костей каждое число очков от 1 до 6 выпадет хотя бы на одной кости?
У одного островного племени есть обычай – во время ритуального танца шаман подбрасывает высоко вверх три тонких прямых прута одинаковой длины, связанных в подобие буквы П. Соседние прутья связаны короткой ниткой и поэтому свободно вращаются друг относительно друга. Прутья падают на песок, образуя случайную фигуру. Если получается самопересечение (первый и третий прутья перекрещиваются), то племя в наступающем году ждут неурожаи и всякие неприятности. Если же самопересечения нет, то год будет удачным – сытным и счастливым. Найдите вероятность того, что на 2017 год прутья напророчат удачу.
Имеется <i>n</i> случайных векторов вида (<i>y</i><sub>1</sub>, <i>y</i><sub>2</sub>, <i>y</i><sub>3</sub>), где ровно одна случайная координата равна 1, остальные равны 0. Их складывают. Получается случайный вектор <i><b>a</b></i> с координатами (<i>Y</i><sub>1</sub>, <i>Y</i><sub>2</sub>, <i>Y</i><sub>3</sub>).
а) Найдите математическое ожидание случайной величины <i><b>a</b></i>².
б) Докажите, что <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66053/problem_66053_img_2.gif">
Последовательность состоит из 19 единиц и 49 нулей, стоящих в случайном порядке. Назовём группой максимальную подпоследовательность из одинаковых символов. Например, в последовательности 110001001111 пять групп: две единицы, потом три нуля, потом одна единица, потом два нуля и, наконец, четыре единицы. Найдите математическое ожидание длины первой группы.