Олимпиадные задачи из источника «1 (2008 год)» для 4-9 класса - сложность 2 с решениями

Игральную кость бросают раз за разом. Обозначим через <i>P_n</i> вероятность того, что в какой-то момент сумма очков, выпавших при всех сделанных бросках, равна <i>n</i>. Докажите, что при  <i>n</i> ≥ 7  верно равенство  <i>P_n</i> = &frac16; (<i>P</i>_<i>n</i>–1 + <i>P</i>_<i>n</i>–2 + ... + <i>P</i>_<i>n</i>–6).

Три усталых ковбоя зашли в салун, и повесили свои шляпы на бизоний рог при входе. Когда глубокой ночью ковбои уходили, они были не в состоянии отличить одну шляпу от другой и поэтому разобрали три шляпы наугад. Найдите вероятность того, что никто из них не взял свою собственную шляпу.

В классе меньше 30 человек. Вероятность того, что наугад выбранная девочка отличница, равна ³/₁₃, а вероятность того, что наугад выбранный мальчик – отличник, равна ⁴/₁₁. Сколько в классе отличников?

В первой четверти у Васи было пять оценок по математике, больше всего среди них пятёрок. При этом оказалось, что медиана всех оценок равна 4, а среднее арифметическое 3,8. Какие оценки могли быть у Васи?

В классе 25 детей. Для дежурства наугад выбирают двоих. Вероятность того, что оба дежурных окажутся мальчиками, равна ³/₂₅.

Сколько в классе девочек?

Имеются два симметричных кубика. Можно ли так написать на их гранях некоторые числа, чтобы сумма очков при бросании принимала значения 1, 2, ..., 36 с равными вероятностями?

На каждой из четырёх карточек написано натуральное число. Берут наугад две карточки и складывают числа на них. С равной вероятностью эта сумма может быть меньше 9, равна 9 и больше 9. Какие числа могут быть записаны на карточках?

Петя предлагает Васе сыграть в следующую игру. Петя дает Васе две коробки с конфетами. В каждой из двух коробок шоколадные конфеты и карамельки. Всего в обеих коробках 25 конфет. Петя предлагает Васе взять из каждой коробки по конфете. Если обе конфеты окажутся шоколадными, то Вася выиграл. В противном случае выиграл Петя. Вероятность того, что Васе достанутся две карамельки, равна 0,54. У кого больше шансов на победу?

Петя играет в компьютерную игру “Куча камней”. Сначала в куче 16 камней. Игроки по очереди берут из кучи 1, 2, 3 или 4 камня. Выигрывает тот, кто заберёт последний камень. Петя играет впервые и поэтому каждый раз берёт случайное число камней, при этом он не нарушает правила игры. Компьютер играет по следующему алгоритму: на каждом ходу он берёт столько камней, чтобы оказаться в наиболее выгодном положении. Игру начинает всегда Петя. С какой вероятностью Петя выиграет?

Город считается миллионером, если в нем живет более миллиона человек. Вероятность какого события больше:

  <i>A</i> = {наугад выбранный городской житель живет в городе миллионере} или

  <i>B</i> = {наугад выбранный город – город-миллионер}?Возьмите статистику численности городского населения России с сайта http://www.perepis2002.ru/ct/doc/1_TOM_01_05.xls. Проверьте, справедлив ли для России ваш вывод, сделанный ранее. Для этого подсчитайте вероятность того, что наугад выбранный городской житель живёт в городе-миллионере, и вероятность того, наугад выбранный город – миллионер, и сравните их.

Иван Семёнов выполняет тест ЕГЭ по математике. Экзамен состоит из заданий трёх типов: <i>A, B</i> и <i>C</i>. К каждому из заданий типа <i>А</i> даны на выбор четыре варианта ответа, только один из которых верный. Всего таких заданий 10. Задания типа <i>B</i> и <i>C</i> требуют развёрнутого ответа. Так как Ваня постоянно прогуливал, его познания в математике неглубоки. Задания типа <i>А</i> он выполняет, выбирая ответы наугад. Первое из заданий типа В Ваня решает с вероятностью &frac13;. Больше ничего Иван сделать не может. За правильный ответ на одно задание типа <i>A</i> ставится 1 балл, за задание типа <i>B</i> – 2 балла. С какой вероятностью Ваня наберёт больше 5 баллов?Возьмите задания...

В школьном футбольном турнире участвуют 8 команд, одинаково хорошо играющих в футбол. Каждая игра заканчивается победой одной из команд. Случайно выбираемый по жребию номер определяет положение команды в турнирной таблице:<div align="center"><img src="/storage/problem-media/65259/problem_65259_img_2.gif"></div>Какова вероятность того, что команды <i>А</i> и <i>B</i>:

  а) встретятся в полуфинале;

  б) встретятся в финале.