Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 6-10 класса - сложность 1-2 с решениями
Пусть <i>n</i> – натуральное число. На 2<i>n</i> + 1 карточках написано по ненулевому целому числу; сумма всех чисел также ненулевая. Требуется этими карточками заменить звёздочки в выражении *<i>x</i><sup>2<i>n</i></sup> + *<i>x</i><sup>2<i>n</i>–1</sup> + ... *<i>x</i> + * так, чтобы полученный многочлен не имел <i>целых</i> корней. Всегда ли это можно сделать?
В пространстве даны три отрезка <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>2</sub>, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке <i>P</i>. Обозначим через <i>O<sub>ijk</sub></i> центр сферы, проходящей через точки <i>A<sub>i</sub>, B<sub>j</sub>, C<sub>k</sub></i> и <i>P</i>. Докажите, что прямые <i>O</i><sub>111</sub><i>O</i><sub>222</sub>, <i>O</i><sub>112</sub><i>O</i><sub>2...
Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка <i>X</i>, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка <i>X</i> будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.
Диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>. Точка <i>Q</i> выбрана на отрезке <i>BC</i> так, что <i>PQ</i> ⊥ <i>AC</i>.
Докажите, что прямая, проходящая через центры описанных окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> треугольников <i>APD</i> и <i>BQD</i>, параллельна прямой <i>AD</i>.
В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?
Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел?
Окружность ω касается сторон угла <i>BAC</i> в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая <i>l</i> пересекает отрезки <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Окружность ω пересекает <i>l</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Точки <i>S</i> и <i>T</i> выбраны на отрезке <i>BC</i> так, что <i>KS || AC</i> и <i>LT || AB</i>. Докажите, что точки <i>P, Q, S</i> и <i>T</i> лежат на одной окружности.
У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера <i>a</i>×<i>b</i> дать либо ковёр размера <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub>×<sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub>, либо два ковра размеров <i>c</i>×<i>b</i> и <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>c</i></sub>×<i>b</i> (при каждом таком обмене число <i>c</i> клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая – короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента...