Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 3-9 класса - сложность 3 с решениями
Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i>. На отрезках <i>AM</i> и <i>CM</i> выбраны точки <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно таким образом, что <i>PQ = <sup>AC</sup></i>/<sub>2</sub>. Описанная окружность треугольника <i>ABQ</i> второй раз пересекает сторону <i>BC</i> в точке <i>X</i>, а описанная окружность треугольника <i>BCP</i>, второй раз пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>Y</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>BXMY</i> – вписанный.
Треугольник <i>ABC</i> (<i>AB > BC</i>) вписан в окружность Ω. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что <i>AM = CN</i>. Прямые <i>MN</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Пусть <i>P</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>AMK</i>, а <i>Q</i> – центр вневписанной окружности треугольника <i>CNK</i>, касающейся стороны <i>CN</i>. Докажите, что середина дуги <i>ABC</i> окружности Ω равноудалена от точек <i>P</i> и <i>Q</i>.
В сейфе <i>n</i> ячеек с номерами от 1 до <i>n</i>. В каждой ячейке первоначально лежала карточка с её номером. Вася переложил карточки в некотором порядке так, что в <i>i</i>-й ячейке оказалась карточка с числом <i>a<sub>i</sub></i>. Петя может менять местами любые две карточки с номерами <i>x</i> и <i>y</i>, платя за это 2|<i>x – y</i>| рублей. Докажите, что Петя сможет вернуть все карточки на исходные места, заплатив не более |<i>a</i><sub>1</sub> – 1| + |<i>a</i><sub>2</sub> – 2| + ... + |<i>a<sub>n</sub> – n</i>| рублей.
Дана функция <i>f</i>, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых <i>x</i> и <i>y</i>, таких, что <i>x > y</i>, верно неравенство (<i>f</i>(<i>x</i>))² ≤ <i>f</i>(<i>y</i>). Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке [0,1].
В республике математиков выбрали число α > 2 и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в α<i><sup>k</sup></i> рублей при каждом натуральном <i>k</i>. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?
Трапеция <i>ABCD</i> с основаниями <i>AB</i> и <i>CD</i> вписана в окружность Ω. Окружность ω проходит через точки <i>C, D</i> и пересекает отрезки <i>CA, CB</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> соответственно. Точки <i>A</i><sub>2</sub> и <i>B</i><sub>2</sub> симметричны точкам <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub> относительно середин отрезков <i>CA</i> и <i>CB</i> соответственно. Докажите, что точки <i>A, B, A</i><sub>2</sub> и <i>B</i><sub>2</sub> лежат на одной окружности.
Точка <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i>, в котором <i>AB > BC</i>. Касательные к описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i>, проведённые в точках <i>A</i> и <i>C</i>, пересекаются в точке <i>P</i>. Отрезки <i>BP</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>S</i>. Пусть <i>AD</i> – высота треугольника <i>BP</i>. Описанная окружность ω треугольника <i>CSD</i> второй раз пересекает окружность Ω в точке <i>K</i>. Докажите, что ∠<i>CKM</i> = 90°.
В выпуклом <i>n</i>-угольнике проведено несколько диагоналей. Проведённая диагональ называется <i>хорошей</i>, если она пересекается (по внутренним точкам) ровно с одной из других проведённых диагоналей. Найдите наибольшее возможное количество хороших диагоналей.
Серёжа выбрал два различных натуральных числа <i>a</i> и <i>b</i>. Он записал в тетрадь четыре числа: <i>a, a</i> + 2, <i>b</i> и <i>b</i> + 2. Затем он выписал на доску все шесть попарных произведений чисел из тетради. Какое наибольшее количество точных квадратов может быть среди чисел на доске?