Олимпиадные задачи из источника «Региональный этап» для 7-10 класса - сложность 2 с решениями
Числа <i>x, y</i> и <i>z</i> таковы, что все три числа <i>x + yz, y + zx</i> и <i>z + xy</i> рациональны, а <i>x</i>² + <i>y</i>² = 1. Докажите, что число <i>xyz</i>² также рационально.
На доске написано выражение <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64635/problem_64635_img_2.png">, где <i>a, b, c, d, e, f</i> – натуральные числа. Если число <i>a</i> увеличить на 1, то значение этого выражения увеличится на 3. Если в исходном выражении увеличить число <i>c</i> на 1, то его значение увеличится на 4; если же в исходном выражении увеличить число <i>e</i> на 1, то его значение увеличится на 5. Какое наименьшее значение может иметь произведение <i>bdf</i>?
Дан выпуклый семиугольник. Выбираются четыре произвольных его угла и вычисляются их синусы, от остальных трёх углов вычисляются косинусы. Оказалось, что сумма таких семи чисел не зависит от изначального выбора четырёх углов. Докажите, что у этого семиугольника найдутся четыре равных угла.
На доске написано уравнение <i>x</i>³ + *<i>x</i>² + *<i>x</i> + * = 0. Петя и Вася по очереди заменяют звёздочки на рациональные числа: вначале Петя заменяет любую из звёздочек, потом Вася – любую из двух оставшихся, а затем Петя – оставшуюся звёздочку. Верно ли, что при любых действиях Васи Петя сможет получить уравнение, у которого разность каких-то двух корней равна 2014?
Ученик за одну неделю получил 17 оценок (каждая из них – 2, 3, 4 или 5). Среднее арифметическое этих 17 оценок – целое число.
Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз.
Число <i>x</i> таково, что среди четырёх чисел <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/64622/problem_64622_img_2.gif"> ровно одно не является целым.
Найдите все такие <i>x</i>.
Учитель записал Пете в тетрадь четыре различных натуральных числа. Для каждой пары этих чисел Петя нашёл их наибольший общий делитель. У него получились шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и <i>N</i>, где <i>N</i> > 5. Какое наименьшее значение может иметь число <i>N</i>?
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> стороны <i>AD</i> и <i>BC</i> параллельны.
Докажите, что если биссектрисы углов <i>DAC, DBC, ACB</i> и <i>ADB</i> образовали ромб, то <i>AB = CD</i>.
Даны 111 различных натуральных чисел, не превосходящих 500.
Могло ли оказаться, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел?