Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 1-2 с решениями

Из целых чисел от 0 до 1000 выбрали 101 число.

Докажите, что среди модулей их попарных разностей есть десять различных чисел, не превосходящих 100.

Вписанная и вневписанная сферы треугольной пирамиды <i>ABCD</i> касаются её грани <i>BCD</i> в различных точках <i>X</i> и <i>Y</i>.

Докажите, что треугольник <i>AXY</i> тупоугольный.

Даны многочлены <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) десятой степени, старшие коэффициенты которых равны 1. Известно, что уравнение  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>Q</i>(<i>x</i>)  не имеет действительных корней. Докажите, что уравнение <i>P</i>(<i>x</i> +1) = <i>Q</i>(<i>x –</i> 1) имеет хотя бы один действительный корень.

Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что для любых ненулевых цифр <i>a</i> и <i>b</i> число  <span style="text-decoration: overline;"><i>anb</i></span>  делится на  <span style="text-decoration: overline;"><i>ab</i></span> ?  (Через  <span style="text-decoration: overline;"><i>x...y</i></span>  обозначено число, получаемое приписыванием друг к другу десятичных записей чисел <i>x, ..., y</i>.)

По кругу расставлено 2<i>n</i> действительных чисел, сумма которых положительна. Для каждого из них рассмотрим обе группы из <i>n</i> подряд стоящих чисел, в которых это число является крайним. Докажите, что найдётся число, для которого сумма чисел в каждой из двух таких групп положительна.

Даны различные действительные числа <i>a, b, с</i>. Докажите, что хотя бы два из уравнений  (<i>x – a</i>)(<i>x – b</i>) = <i>x – c</i>,  (<i>x – b</i>)(<i>x – c</i>) = <i>x – a</i>,

(<i>x – c</i>)(<i>x – a</i>) = <i>x – b</i>  имеют решение.