Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 2-9 класса - сложность 2-3 с решениями
В некотором городе сеть автобусных маршрутов устроена так, что каждые два маршрута имеют ровно одну общую остановку, и на каждом маршруте есть хотя бы 4 остановки. Докажите, что все остановки можно распределить между двумя компаниями так, что на каждом маршруте найдутся остановки обеих компаний.
Изначально на доске записаны 10 последовательных натуральных чисел. За одну операцию разрешается выбрать любые два числа на доске (обозначим их <i>a</i> и <i>b</i>) и заменить их на числа <i>a</i>² – 2011<i>b</i>² и <i>ab</i>. После нескольких таких операций на доске не осталось ни одного из исходных чисел. Могли ли там опять оказаться 10 последовательных натуральных чисел (записанных в некотором порядке)?
Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>1</sub> выбраны на сторонах <i>BC</i>, <i>CA</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> соответственно. Оказалось, что <i>AB</i><sub>1</sub> – <i>AC</i><sub>1</sub> = <i>CA</i><sub>1</sub> – <i>CB</i><sub>1</sub> = <i>BC</i><sub>1</sub> – <i>BA</i><sub>1</sub>. Пусть <i>I<sub>A</sub>, I<sub>B</sub></i> и <i>I<sub>C</sub></i> – центры окружностей, вписанных в треугольники <i>AB</i><sub>1</su...
По кругу стоит 101 мудрец. Каждый из них либо считает, что Земля вращается вокруг Юпитера, либо считает, что Юпитер вращается вокруг Земли. Один раз в минуту все мудрецы одновременно оглашают свои мнения. Сразу после этого каждый мудрец, оба соседа которого думают иначе, чем он, меняет своё мнение, а остальные – не меняют. Докажите, что через некоторое время мнения перестанут меняться.
Положительные действительные числа <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> и <i>k</i> таковы, что <i>a</i><sub>1</sub> + ... + <i>a<sub>n</sub></i> = 3<i>k</i>, <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116758/problem_116758_img_2.gif"> и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116758/problem_116758_img_3.gif"> .
Докажите, что какие-то два из чисел <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> отличаются больше чем на 1.
Дан параллелограмм <i>ABCD</i> с тупым углом <i>A</i>. Точка <i>H</i> – основание перпендикуляра, опущенного из точки <i>A</i> на <i>BC</i>. Продолжение медианы <i>CM</i> треугольника <i>ABC</i> пересекает описанную около него окружность в точке <i>K</i>. Докажите, что точки <i>K</i>, <i>H</i>, <i>C</i> и <i>D</i> лежат на одной окружности.
На окружности отмечены 2012 точек, делящих её на равные дуги. Из них выбрали <i>k</i> точек и построили выпуклый <i>k</i>-угольник с вершинами
в выбранных точках. При каком наибольшем <i>k</i> могло оказаться, что у этого многоугольника нет параллельных сторон?
Пусть <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a</i><sub>11</sub> – различные натуральные числа, не меньшие 2, сумма которых равна 407.
Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа <i>n</i> на 22 числа <i>a</i><sub>1</sub>, ..., <i>a</i><sub>11</sub>, 4<i>a</i><sub>1</sub>, 4<i>a</i><sub>2</sub>, ..., 4<i>a</i><sub>11</sub> равняться 2012?