Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 6-11 класса - сложность 3 с решениями
Для натурального <i>a</i> обозначим через <i>P</i>(<i>a</i>) наибольший простой делитель числа <i>a</i>² + 1.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел <i>a, b, c</i>, что <i>P</i>(<i>a</i>) = <i>P</i>(<i>b</i>) = <i>P</i>(<i>c</i>).
На столе лежит куча из более чем <i>n</i>² камней. Петя и Вася по очереди берут камни из кучи, первым берёт Петя. За один ход можно брать любое простое число камней, меньшее <i>n</i>, либо любое кратное <i>n</i> число камней, либо один камень. Докажите, что Петя может действовать так, чтобы взять последний камень независимо от действий Васи.
В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.
На стороне <i>BC</i> параллелограмма <i>ABCD</i> (∠<i>A</i> < 90°) отмечена точка <i>T</i> так, что треугольник <i>ATD</i> – остроугольный. Пусть <i>O</i><sub>1</sub>, <i>O</i><sub>2</sub> и <i>O</i><sub>3</sub> – центры описанных окружностей треугольников <i>ABT</i>, <i>DAT</i> и <i>CDT</i> соответственно (см. рисунок). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/116647/problem_116647_img_2.gif"></div>Докажите, что ортоцентр треугольника<i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub><i>O</i><sub>3</sub>лежит...
Для натуральных чисел <i>a</i> > <i>b</i> > 1 определим последовательность <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ... формулой <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/116644/problem_116644_img_2.gif"> . Найдите наименьшее <i>d</i>, при котором ни при каких <i>a</i> и <i>b</i> эта последовательность не содержит <i>d</i> последовательных членов, являющихся простыми числами.
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. На продолжениях <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> его высот за точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> выбраны соответственно точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что угол <i>PAQ</i> – прямой. Пусть <i>AF</i> – высота треугольника <i>APQ</i>. Докажите, что угол <i>BFC</i> – прямой.
Периметр треугольника <i>ABC</i> равен 4. На лучах <i>AB</i> и <i>AC</i> отмечены точки <i>X</i> и <i>Y</i> так, что <i>AX = AY</i> = 1. Отрезки <i>BC</i> и <i>XY</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Докажите, что периметр одного из треугольников <i>ABM</i> и <i>ACM</i> равен 2.
В каждой клетке таблицы, состоящей из 10 столбцов и <i>n</i> строк, записана цифра. Известно, что для каждой строки <i>A</i> и любых двух столбцов найдётся строка, отличающаяся от <i>A</i> ровно в этих двух столбцах. Докажите, что <i>n</i> ≥ 512.
Пусть <i>ABC</i> – правильный треугольник. На его стороне <i>AC</i> выбрана точка <i>T</i>, а на дугах <i>AB</i> и <i>BC</i> его описанной окружности выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что <i>MT || BC</i> и <i>NT || AB</i>. Отрезки <i>AN</i> и <i>MT</i> пересекаются в точке <i>X</i>, а отрезки <i>CM</i> и <i>NT</i> – в точке <i>Y</i>. Докажите, что периметры многоугольников <i>AXYC</i> и <i>XMBNY</i> равны.
У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально – это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен <i>g</i>(<i>x</i>), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>g</i>(<i>x</i>) имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?
Существуют ли три взаимно простых в совокупности натуральных числа, квадрат каждого из которых делится на сумму двух оставшихся?
На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Окружность, проходящая через вершину <i>B</i> и центр <i>O</i> его описанной окружности, вторично пересекает стороны <i>BC</i> и <i>BA</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>POQ</i> лежит на прямой <i>AC</i>.