Олимпиадные задачи из источника «10 Класс» для 9 класса
10 Класс
НазадЧисла <i>a, b, c</i> таковы, что <i>a</i>²(<i>b + c</i>) = <i>b</i>²(<i>a + c</i>) = 2008 и <i>a ≠ b</i>. Найдите значение выражения <i>c</i>²(<i>a + b</i>).
Вписанная в треугольник <i>ABC</i> окружность ω касается сторон<i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Пусть <i>P</i> – произвольная точка на большей дуге <i>DE</i> окружности ω, <i>F</i> – точка, симметричная точке <i>A</i> относительно прямой <i>DP, M</i> – середина отрезка <i>DE</i>. Докажите, что угол <i>FMP</i> – прямой.
На бесконечной в обе стороны ленте бумаги выписаны все целые числа, каждое – ровно по одному разу.
Могло ли оказаться, что между каждыми двумя числами не стоит их среднее арифметическое?
По кругу расставлены красные и синие числа. Каждое красное число равно сумме соседних чисел, а каждое синее– полусумме соседних чисел. Докажите, что сумма красных чисел равна нулю.
На острове живут100рыцарей и100лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу "Все мои друзья – рыцари", либо фразу "Все мои друзья – лжецы", причем каждую из фраз произнесло ровно100человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой – лжец.
Последовательность(<i>a<sub>n</sub></i>)задана условиями<i> a<sub>1</sub>= </i>1000000,<i> a<sub>n+</sub></i>1<i>=n</i>[<i><img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/111805/problem_111805_img_2.gif"></i>]<i>+n </i>. Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.
В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.
На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> нашлись такие точки <i>M</i> и <i>N</i>, отличные от вершин, что <i>MC = AC</i> и <i>NB = AB</i>. Точка <i>P</i> симметрична точке <i>A</i> относительно прямой <i>BC</i>. Докажите, что <i>PA</i> является биссектрисой угла <i>MPN</i>.