Олимпиадные задачи из источника «2006-2007» для 10 класса - сложность 2 с решениями

25 мальчиков и несколько девочек собрались на вечеринке и обнаружили забавную закономерность. Если выбрать любую группу не меньше чем из 10 мальчиков, а потом добавить к ним всех девочек, знакомых хотя бы с одним из этих мальчиков, то в получившейся группе число мальчиков окажется на 1 меньше, чем число девочек. Докажите, что некоторая девочка знакома не менее чем с 16 мальчиками.

Петя придумал 1004 приведённых квадратных трёхчлена  <i>f</i>₁, ...,  <i>f</i>₁₀₀₄,  среди корней которых встречаются все целые числа от 0 до 2007. Вася рассматривает всевозможные уравнения  <i>f_i = f_j</i>  (<i>i ≠ j</i>),  и за каждый найденный у них корень Петя платит Васе по рублю. Каков наименьший возможный доход Васи?

Для вещественных  <i>x > y</i> > 0  и натуральных  <i>n > k</i>  докажите неравенство  (<i>x^k – y^k</i>)^<i>n</i> < (<i>xⁿ – yⁿ</i>)^<i>k</i>.

В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом <i>k</i>  (1 ≤ <i>k</i> ≤ 25)  в любых <i>k</i> коробках лежат шарики ровно  <i>k</i> + 1  различных цветов. Докажите, что шарики одного из цветов лежат во всех коробках.