Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 5-8 класса - сложность 2-5 с решениями

В квадрате 10×10 расставлены числа от 1 до 100: в первой строчке – от 1 до 10 слева направо, во второй – от 11 до 20 слева направо и т.д. Андрей собирается разрезать квадрат на доминошки 1×2, посчитать произведение чисел в каждой доминошке и сложить полученные 50 чисел. Он стремится получить как можно меньшую сумму. Как ему следует разрезать квадрат?

Для натурального  <i>n</i> > 3  будем обозначать через <i>n</i>? (<i>n-вопросиал</i>) произведение всех простых чисел, меньших <i>n</i>. Решите уравнение  <i>n</i>? = 2<i>n</i> + 16.

Через точку <i>I</i> пересечения биссектрис треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, пересекающая стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно. Треугольник <i>BMN</i> оказался остроугольным. На стороне <i>AC</i> выбраны точки <i>K</i> и <i>L</i> так, что  ∠<i>ILA</i> = ∠<i>IMB</i>,  ∠<i>IKC</i> = ∠<i>INB</i>.  Докажите, что

<i>AM + KL + CN = AC</i>.

От Майкопа до Белореченска 24 км. Три друга должны добраться: двое из Майкопа в Белореченск, а третий – из Белореченска в Майкоп. У них есть один велосипед, первоначально находящийся в Майкопе. Каждый из друзей может идти (со скоростью не более 6 км/ч) и ехать на велосипеде (со скоростью не более 18 км/ч). Оставлять велосипед без присмотра нельзя. Докажите, что через 2 часа 40 минут все трое друзей могут оказаться в пунктах назначения. Ехать на велосипеде вдвоём нельзя.

Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус. На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка. Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?

На стороне <i>BC</i> ромба <i>ABCD</i> выбрана точка <i>M</i>. Прямые, проведённые через <i>M</i> перпендикулярно диагоналям <i>BD</i> и <i>AC</i>, пересекают прямую <i>AD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Оказалось, что прямые <i>PB, QC</i> и <i>AM</i> пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение  <i>BM</i> : <i>MC</i>?

В клетках таблицы 10×10 произвольно расставлены натуральные числа от 1 до 100, каждое по одному разу. За один ход разрешается поменять местами любые два числа. Докажите, что за 35 ходов можно добиться того, чтобы сумма каждых двух чисел, стоящих в клетках с общей стороной, была составной.

Даны числа <i>a, b, c</i>.

Докажите, что хотя бы одно из уравнений  <i>x</i>² + (<i>a – b</i>)<i>x</i> + (<i>b – c</i>) = 0,  <i>x</i>² + (<i>b – c</i>)<i>x</i> + (<i>c – a</i>) = 0,  <i>x</i>² + (<i>c – a</i>)<i>x</i> + (<i>a – b</i>) = 0  имеет решение.

В каждой вершине выпуклого 100-угольника написано по два различных числа. Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждой вершине так, чтобы оставшиеся числа в каждых двух соседних вершинах были различными.

В треугольнике <i>ABC</i> проведена биссектриса <i>BB</i>₁. Перпендикуляр, опущенный из точки <i>B</i>₁ на <i>BC</i>, пересекает дугу <i>BC</i> описанной окружности треугольника <i>ABC</i> в точке <i>K</i>. Перпендикуляр опущенный из точки <i>B</i> на <i>AK</i> пересекает <i>AC</i> в точке <i>L</i>. Докажите что точки <i>K, L</i> и середина дуги <i>AC</i> (не содержащей точку <i>B</i>) лежат на одной прямой.

Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2<i>n+</i>1)-угольнике  (<i>n</i> > 1).  Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?

На доске написали 100 дробей, у которых в числителях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу и в знаменателях стоят все числа от 1 до 100 по одному разу. Оказалось, что сумма этих дробей есть несократимая дробь со знаменателем 2. Докажите, что можно поменять местами числители двух дробей так, чтобы сумма стала несократимой дробью с нечётным знаменателем.

Приведённые квадратные трёхчлены <i>f</i>(<i>x</i>) и <i>g</i>(<i>x</i>) таковы, что уравнения  <i>f</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) = 0  и  <i>g</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  не имеют вещественных корней.

Докажите, что хотя бы одно из уравнений  <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = 0  и  <i>g</i>(<i>g</i>(<i>x</i>)) = 0  тоже не имеет вещественных корней.

Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.