Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями
Сколькими способами числа 2<sup>0</sup>, 2<sup>1</sup>, 2², ..., 2<sup>2005</sup> можно разбить на два непустых множества <i>A</i> и <i>B</i> так, чтобы уравнение <i>x</i>² – <i>S</i>(<i>A</i>)<i>x + S</i>(<i>B</i>) = 0, где <i>S</i>(<i>M</i>) – сумма чисел множества <i>M</i>, имело целый корень?
Десять попарно различных ненулевых чисел таковы, что для каждых двух из них либо сумма этих чисел, либо их произведение – рациональное число.
Докажите, что квадраты всех чисел рациональны.
Окружности σ<sub><i>B</i></sub>, σ<sub><i>C</i></sub> – вневписанные для треугольника <i>ABC</i> (касаются соответственно сторон <i>AC</i> и <i>AB</i> и продолжений двух других сторон). Окружность ω<sub><i>B</i></sub> симметрична σ<sub><i>B</i></sub> относительно середины стороны <i>AC</i>, окружность ω<sub><i>C</i></sub> симметрична σ<sub><i>C</i></sub> относительно середины стороны <i>AB</i>. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ω<sub><i>B</i></sub> и ω<sub><i>C</i></sub>, делит периметр треугольника <i>...
На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на каждой по одному). За один вопрос разрешается указать на любые три карточки и узнать множество чисел, написанных на них. За какое наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой карточке?
За круглым столом сидят 100 представителей 25 стран, по 4 представителя от каждой. Докажите, что их можно разбить на 4 группы таким образом, что в каждой группе будет по одному представителю от каждой страны, и никакие двое из одной группы не сидят за столом рядом.
Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов<i> P<sub>1</sub> </i>,<i> P<sub>2</sub> </i>,<i> P</i>12, ребра которых параллельны координатным осям<i> Ox </i>,<i> Oy </i>,<i> Oz </i>так, чтобы<i> P<sub>2</sub> </i>пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме<i> P<sub>1</sub> </i>и<i> P<sub>3</sub> </i>,<i> P<sub>3</sub> </i>пересекался с каждым из оставшихся, кроме<i> P<sub>2</sub> </i>и<i> P<sub>4</sub> </i>, и т.д.,<i> P</i>12пересекался с каждым из оставшихся, кроме<i> P</i...
Существует ли ограниченная функция<i> f </i>:<i> <img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_3.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"> </i>такая, что<i> f</i>(1)<i>></i>0и<i> f</i>(<i>x</i>)удовлетворяет при всех<i> x,y<img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_4.gif"><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109819_img_2.gif"> </i>неравенству <center><i>
f<sup>2</sup></i>(<i>x+y</i>)<i><img src="/storage/problem-media/109819/problem_109...
Натуральные числа <i>x, y, z</i> (<i>x</i> > 2, <i>y</i> > 1) таковы, что <i>x<sup>y</sup></i> + 1 = <i>z</i>². Обозначим через <i>p</i> количество различных простых делителей числа <i>x</i>, через <i>q</i> – количество различных простых делителей числа <i>y</i>. Докажите, что <i>p ≥ q</i> + 2.
Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение <center><i>
|x-a<sub>1</sub>|+..+|x-a</i>50<i>|=|x-b<sub>1</sub>|+..+|x-b</i>50<i>|,
</i></center> где<i> a<sub>1</sub> </i>,<i> a<sub>2</sub> </i>,<i> a</i>50,<i> b<sub>1</sub> </i>,<i> b<sub>2</sub> </i>,<i> b</i>50– различные числа?
Четырёхугольник <i>ABCD</i> с попарно непараллельными сторонами описан около окружности с центром <i>O</i>. Докажите, что точка <i>O</i> совпадает с точкой пересечения средних линий четырёхугольника <i>ABCD</i> тогда и только тогда, когда <i>OA·OC = OB·OD</i>.