Олимпиадные задачи из источника «2002-2003» - сложность 2 с решениями

В вершинах кубика написали числа от 1 до 8, а на каждом ребре – модуль разности чисел, стоящих в его концах. Какое наименьшее количество различных чисел может быть написано на ребрах?

Двое по очереди выписывают на доску натуральные числа от 1 до 1000. Первым ходом первый игрок выписывает на доску число 1. Затем очередным ходом на доску можно выписать либо число2<i>a </i>, либо число<i> a+</i>1, если на доске уже написано число<i> a </i>. При этом запрещается выписывать числа, которые уже написаны на доске. Выигрывает тот, кто выпишет на доску число 1000. Кто выигрывает при правильной игре?

По каждой из двух пересекающихся прямых с постоянными скоростями, не меняя направления, ползёт по жуку. Известно, что проекции жуков на ось <i>OX</i> никогда не совпадают (ни в прошлом, ни в будущем). Докажите, что проекции жуков на ось <i>OY</i> обязательно совпадут или совпадали раньше.

Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе нацело делится на произведение чисел во второй.

Какое наименьшее значение может быть у частного от деления первого произведения на второе?

Найдите все <i>x</i>, при которых уравнение  <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + 2<i>xyz</i> = 1  (относительно <i>z</i>) имеет действительное решение при любом <i>y</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> – прямой. На стороне <i>AC</i> нашлась такая точка <i>D</i>, а на отрезке <i>BD</i> – такая точка <i>K</i>, что  ∠<i>B</i> = ∠<i>KAD</i> = ∠<i>AKD</i>.

Докажите, что  <i>BK</i> = 2<i>DC</i>.