Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 5 с решениями
Дан выпуклый<i> n </i>-угольник (<i> n></i>3), никакие четыре вершины которого не лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три вершины многоугольника и содержащую внутри себя остальные его вершины, назовем описанной. Описанную окружность назовем граничной, если она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника; описанную окружность назовем внутренней, если она проходит через три вершины, никакие две из которых не являются соседними вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных окружностей на две больше, чем внутренних.
Проведем через основание биссектрисы угла<i> A </i>разностороннего треугольника<i> ABC </i>отличную от стороны<i> BC </i>касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью обозначим через<i> K<sub>a</sub> </i>. Аналогично построим точки<i> K<sub>b</sub> </i>и<i> K<sub>c</sub> </i>. Докажите, что три прямые, соединяющие точки<i> K<sub>a</sub> </i>,<i> K<sub>b</sub> </i>и<i> K<sub>c</sub> </i>с серединами сторон<i> BC </i>,<i> CA </i>и<i> AB </i>соответственно, имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.
Клетчатая фигура Ф обладает таким свойством: при любом заполнении клеток прямоугольника <i>m×n</i> числами, сумма которых положительна, фигуру Ф можно так расположить в прямоугольнике, чтобы сумма чисел в клетках прямоугольника, накрытых фигурой Ф, была положительна (фигуру Ф можно поворачивать). Докажите, что данный прямоугольник может быть покрыт фигурой Ф в несколько слоев.