Олимпиадные задачи из источника «18 (1995), математика»
18 (1995), математика
Назад<i>M<sub>a</sub>, M<sub>b</sub>, M<sub>c</sub></i>– середины сторон,<i>H<sub>a</sub>, H<sub>b</sub>, H<sub>c</sub></i>– основания высот треугольника<i>ABC</i>площади<i>S</i>. Доказать, что из отрезков<i>M<sub>a</sub>H<sub>b</sub>, M<sub>b</sub>H<sub>c</sub>, M<sub>c</sub>H<sub>a</sub></i>можно составить треугольник, найти его площадь.
Прямоугольник <i>ABCD</i> (<i>AB = a, BC = b</i>) сложили так, что получился пятиугольник площади <i>S</i> (<i>C</i> легла в <i>A</i>). Докажите, что <i>S</i> < ¾ <i>ab</i>.
а) Существуют ли четыре таких различных натуральных числа, что сумма каждых трёх из них есть простое число?
б) Существуют ли пять таких различных натуральных чисел, что сумма каждых трёх из них есть простое число?
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что их сумма равна их наименьшему общему кратному?
(Среди чисел могут быть равные.)
На плоскости расположен квадрат и невидимыми чернилами нанесена точка <i>P</i>. Человек в специальных очках видит точку. Если провести прямую, то он отвечает на вопрос, по какую сторону от неё лежит <i>P</i> (если <i>P</i> лежит на прямой, то он говорит, что <i>P</i> лежит на прямой).
Какое наименьшее число таких вопросов необходимо задать, чтобы узнать, лежит ли точка <i>P</i> внутри квадрата?