Олимпиадные задачи из источника «Турнир городов» для 10 класса - сложность 1 с решениями
Турнир городов
НазадМожно ли покрасить четыре вершины куба в красный цвет и четыре другие – в синий так, чтобы плоскость, проходящая через любые три точки одного цвета, содержала точку другого цвета?
Доказать, что в вершинах многогранника можно расставить натуральные числа так, что в каждых двух вершинах, соединённых ребром, стоят числа не взаимно простые, а в каждых двух вершинах, не соединённых ребром, взаимно простые.
<i>Примечание</i>: простых чисел бесконечно много.
Каждую грань кубика разбили на четыре равных квадрата и раскрасили эти квадраты в три цвета так, чтобы квадраты, имеющие общую сторону, были покрашены в разные цвета. Докажите, что в каждый цвет покрашено по 8 квадратиков.
<i>p</i>(<i>x</i>) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых <i>a</i> и <i>b</i> выполняется равенство: <i>p</i>(<i>a</i>) – <i>p</i>(<i>b</i>) = 1.
Докажите, что <i>a</i> и <i>b</i> различаются на 1.
Через вершины <i>A</i> и <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> проведены две прямые, которые разбивают его на четыре фигуры (три треугольника и один четырёхугольник). Известно, что три из этих фигур имеют одинаковую площадь. Докажите, что одна из этих фигур – четырёхугольник.
Найти все целые решения уравнения <i>y</i><sup><i>k</i></sup> = <i>x</i>² + <i>x</i> (<i>k</i> – натуральное число, большее 1).
В пространстве даны параллелограмм <i>ABCD</i> и плоскость <i>M</i>. Расстояния от точек <i>A</i>, <i>B</i> и <i>C</i> до плоскости <i>M</i> равны соответственно <i>a</i>, <i>b</i> и <i>c</i>.
Найти расстояние <i>d</i> от вершины <i>D</i> до плоскости <i>M</i>.