Олимпиадные задачи из источника «5 турнир (1983/1984 год)» для 8 класса - сложность 3 с решениями

Около остроугольного треугольника <i>ABC</i> описана окружность с центром <i>O</i>. Перпендикуляры, опущенные из точки <i>O</i> на стороны треугольника, продолжены до пересечения с окружностью в точках <i>K</i>, <i>M</i> и <i>P</i>. Докажите, что   <img src="/storage/problem-media/108605/problem_108605_img_2.gif">   где <i>Q</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоят солдатики. Ваня называет число <i>d</i>, а Петя переставляет солдатиков так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше <i>d</i> (расстояние берётся между центрами старой и новой клеток). При каких <i>d</i> это возможно?

б) Эта же задача для квадрата 21×21.

Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел:  (8, 9),  (288, 289).

Разрезать равнобедренный прямоугольный треугольник на несколько подобных ему треугольников, так чтобы любые два из них были различны по размерам.

Дана бесконечная клетчатая бумага со стороной клетки, равной единице. Расстоянием между двумя клетками называется длина кратчайшего пути ладьи от одной клетки до другой (считается путь центра ладьи). В какое наименьшее число красок нужно раскрасить доску (каждая клетка закрашивается одной краской), чтобы две клетки, находящиеся на расстоянии 6, были всегда окрашены разными красками?

На шахматной доске <i>N×N</i> стоят <i>N</i>² шашек. Можно ли их переставить так, чтобы любые две шашки, отстоявшие на ход коня, после перестановки отстояли друг от друга лишь на ход короля (то есть стояли рядом)? Рассмотрите два случая:

  а)  <i>N</i> = 3;

  б)  <i>N</i> = 8.