Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, 7-8 класс»

Внутри квадрата <i>ABCD</i> взята точка <i>M</i>. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников  <i>ABM, BCM, CDM</i> и <i>DAM</i> образуют квадрат.

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

<i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ...  – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  <i>a_{a_k}</i> = 3<i>k</i>  для любого <i>k</i>.

Найти   а)  <i>a</i>₁₀₀;   б)  <i>a</i>₁₉₈₃.

На шахматной доске <i>N×N</i> стоят <i>N</i>² шашек. Можно ли их переставить так, чтобы любые две шашки, отстоявшие на ход коня, после перестановки отстояли друг от друга лишь на ход короля (то есть стояли рядом)? Рассмотрите два случая:

  а)  <i>N</i> = 3;

  б)  <i>N</i> = 8.

Найти все такие натуральные <i>k</i>, которые можно представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, отличных от 1.