Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 9-10 класс»
весенний тур, основной вариант, 9-10 класс
НазадДля каждого натурального <i>n</i> обозначим через <i>P</i>(<i>n</i>) число разбиений <i>n</i> в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; например, <i>P</i>(4) = 5, потому что 4 = 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 – пять способов).
а) Количество различных чисел в данном разбиении назовем его <i>разбросом</i> (например, разбиение 4 = 1 + 1 + 2 имеет разброс 2, потому что в этом разбиении два различных числа). Докажите, что сумма <i>Q</i>(<i>n</i>) разбросов всех разбиений числа <i>n</i> равна 1 + <i>P</i>(1) + <i>P</i>(2) + ... + <i>P</i>(<i>n</i>–1)....
По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов), кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах (<i>k</i>-й и (<i>k</i>+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (<i>k</i>–1)-ю и (<i>k</i>+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)
Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.
а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоят солдатики. Ваня называет число <i>d</i>, а Петя переставляет солдатиков так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше <i>d</i> (расстояние берётся между центрами старой и новой клеток). При каких <i>d</i> это возможно?
б) Эта же задача для квадрата 21×21.
<i>F</i>(<i>x</i>) – возрастающая функция, определённая на отрезке [0, 1]. Известно, что область её значений принадлежит отрезку [0, 1]. Доказать, что, каково бы ни было натуральное <i>n</i>, график функции можно покрыть <i>N</i> прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна <sup>1</sup>/<sub><i>n</i>²</sub>. (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)