Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, подготовительный вариант, 9-10 класс»

Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.

а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоят солдатики. Ваня называет число <i>d</i>, а Петя переставляет солдатиков так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше <i>d</i> (расстояние берётся между центрами старой и новой клеток). При каких <i>d</i> это возможно?

б) Эта же задача для квадрата 21×21.

<i>F</i>(<i>x</i>) – возрастающая функция, определённая на отрезке  [0, 1].  Известно, что область её значений принадлежит отрезку  [0, 1].  Доказать, что, каково бы ни было натуральное <i>n</i>, график функции можно покрыть <i>N</i> прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна ¹/_<i>n</i>². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)

Из листа клетчатой бумаги размером 29×29 клеточек вырезали 99 квадратиков 2×2 (режут по линиям).

Доказать, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.

175 шалтаев стоят дороже, чем 125 болтаев, но дешевле, чем 126 болтаев. Доказать, что на покупку трёх шалтаев и одного болтая не хватит:

  а)  80 коп.;

  б)  одного рубля.