Олимпиадные задачи из источника «5 турнир (1983/1984 год)» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями

Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.

<i>F</i>(<i>x</i>) – возрастающая функция, определённая на отрезке  [0, 1].  Известно, что область её значений принадлежит отрезку  [0, 1].  Доказать, что, каково бы ни было натуральное <i>n</i>, график функции можно покрыть <i>N</i> прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна ¹/_<i>n</i>². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)

Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел:  (8, 9),  (288, 289).

Дана бесконечная клетчатая бумага со стороной клетки, равной единице. Расстоянием между двумя клетками называется длина кратчайшего пути ладьи от одной клетки до другой (считается путь центра ладьи). В какое наименьшее число красок нужно раскрасить доску (каждая клетка закрашивается одной краской), чтобы две клетки, находящиеся на расстоянии 6, были всегда окрашены разными красками?

Через <i>P</i>(<i>x</i>) обозначается произведение всех цифр натурального числа <i>x</i>, через <i>S</i>(<i>x</i>) – сумма цифр числа <i>x</i>.

Сколько решений имеет уравнение:   <i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>)) + <i>P</i>(<i>S</i>(<i>x</i>)) + <i>S</i>(<i>P</i>(<i>x</i>)) + <i>S</i>(<i>S</i>(<i>x</i>)) = 1984 ?

<i>a</i>₁, <i>a</i>₂, <i>a</i>₃, ...  – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  <i>a_{a_k}</i> = 3<i>k</i>  для любого <i>k</i>.

Найти   а)  <i>a</i>₁₀₀;   б)  <i>a</i>₁₉₈₃.