Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс» - сложность 3-4 с решениями

На прямой сидит конечное число лягушек в различных целых точках. За ход ровно одна лягушка прыгает на 1 вправо, причём они по-прежнему должны быть в различных точках. Мы вычислили, сколькими способами лягушки могут сделать <i>n</i> ходов (для некоторого начального расположения лягушек). Докажите, что если бы мы разрешили тем же лягушкам прыгать влево, запретив прыгать вправо, то способов сделать <i>n</i> ходов было бы столько же.

Петя и Вася играют в такую игру. Сначала Петя задумывает некоторый многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами. Далее делается несколько ходов. За ход Вася платит Пете рубль и называет любое целое число a по своему выбору, которое он ещё не называл, а Петя в ответ говорит, сколько решений в целых числах имеет уравнение  <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>a</i>.  Вася выигрывает, как только Петя два раза (не обязательно подряд) назвал одно и то же число. Какого наименьшего числа рублей хватит Васе, чтобы гарантированно выиграть?

Можно ли квадрат со стороной 1 разрезать на две части и покрыть ими какой-нибудь круг диаметра больше 1?

На 2016 красных и 2016 синих карточках написаны положительные числа, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то 64 чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же 64 чисел. Всегда ли можно определить, на карточках какого цвета написаны попарные суммы?

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность Ω с центром <i>O</i>, причём <i>O</i> не лежит на диагоналях четырёхугольника. Описанная окружность Ω₁ треугольника <i>AOC</i> проходит через середину диагонали <i>BD</i>. Докажите, что описанная окружность Ω₂ треугольника <i>BOD</i> проходит через середину диагонали <i>AC</i>.