Задача
На 2016 красных и 2016 синих карточках написаны положительные числа, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то 64 чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же 64 чисел. Всегда ли можно определить, на карточках какого цвета написаны попарные суммы?
Решение
Решение 1:См. первый способ решения задачи 165874. Для неизвестных чисел x1 < x2 < ... < x64 имеем 
Действительно,
x1x63x64 + x2x63x64 > x1x2x63 + x1x2x64.
Решение 2: Понятно, что 64 неизвестных числа положительны и различны. Если максимум одно из них меньше (не меньше) 2, то попарных сумм и произведений, меньших (не меньших) 4, максимум по 63. Следовательно, определяется, имеются ли два неизвестных числа, меньших 2, или два числа, не меньших 2.
В первом случае для наименьших чисел x и y выполняется неравенство (x – 1)(y – 1) < 1, то есть xy < x + y. Поэтому наименьшее число на карточках будет произведением.
Во втором случае, взяв два наибольших числа x и y, аналогично докажем, что xy > x + y, и наибольшее число на карточках будет произведением.
Ответ
Всегда.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь