Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс» для 2-8 класса

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> отметили точку <i>E</i> так, что  <i>CD = CE</i>.

Докажите, что прямая <i>DE</i> перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков <i>AE</i> и <i>BC</i>.

Внутри окружности расположен равносторонний <i>N</i>-угольник. Каждую его сторону продлевают в обе стороны до пересечения с окружностью, получая по два новых отрезка, расположенных вне многоугольника. Затем некоторые из 2<i>N</i> полученных отрезков красятся в красный цвет, а остальные – в синий цвет. Докажите, что можно раскрасить эти отрезки так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих.

а) В таблицу 2×<i>n</i> (где  <i>n</i> > 2)  вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Докажите, что можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны.

б) В таблицу 10×10 вписаны числа. Суммы во всех столбцах различны. Всегда ли можно переставить числа в таблице так, чтобы суммы в столбцах были различны и суммы в строках были различны?

Каждая сторона некоторого многоугольника обладает таким свойством: на прямой, содержащей эту сторону, лежит ещё хотя бы одна вершина многоугольника. Может ли число вершин этого многоугольника

  а) не превосходить девяти;

  б) не превосходить восьми?

а) Натуральные числа <i>x, x</i>² и <i>x</i>³ начинаются с одной и той же цифры. Обязательно ли эта цифра – единица?

б) Тот же вопрос для натуральных чисел <i>x, x</i>², <i>x</i>³, ..., <i>x</i>²⁰¹⁵.

Секретная база окружена прозрачным извилистым забором в форме невыпуклого многоугольника, снаружи – болото. Через болото проложена прямая линия электропередач из 36 столбов, часть из которых стоит снаружи базы, а часть – внутри. (Линия электропередач не проходит через вершины забора.) Шпион обходит базу снаружи вдоль забора так, что забор всё время по правую руку от него. Каждый раз, оказавшись на линии электропередач, он считает, сколько всего столбов находится по левую руку от него (он их все видит). К моменту, когда шпион обошёл весь забор, он насчитал в сумме 2015 столбов. Сколько столбов находится внутри базы?