Задача
Внутри окружности расположен равносторонний N-угольник. Каждую его сторону продлевают в обе стороны до пересечения с окружностью, получая по два новых отрезка, расположенных вне многоугольника. Затем некоторые из 2N полученных отрезков красятся в красный цвет, а остальные – в синий цвет. Докажите, что можно раскрасить эти отрезки так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих.
Решение
Пусть каждая сторона AiAi+1 = a многоугольника A1...AN продолжена синим отрезком AiBi = bi и красным отрезком Ai+1Ci = ci (считаем, что
AN+1 = A1). Хорды B1C1 и B2C2 пересекаются в точке A2, значит, c1(a + b1) = b2(a + c2), то есть (c1 – b2)a = b2c2 – b1c1. Аналогично
(c2 – b3)a = b3c3 – b2c2 и т. д. Сложив все эти равенства, получим (c1 + ... + cN – b1 – ... – bN)a = 0, то есть c1 + ... + cN = b1 + ... + bN.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь