Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс» - сложность 2-4 с решениями
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
НазадПаутина имеет вид клетчатой сетки 100×100 узлов (другими словами, это сетка 99×99 клеток). В каком-то её углу сидит паук, а в некоторых 100 узлах к паутине приклеились мухи. За ход паук может переместиться в любой соседний с ним узел. Может ли паук гарантированно съесть всех мух, затратив не более
а) 2100 ходов;
б) 2000 ходов?
Назовём натуральное число <i>ровным</i>, если в его записи все цифры одинаковы (например: 4, 111, 999999).
Докажите, что любое <i>n</i>-значное число можно представить как сумму не более чем <i>n</i> + 1 ровных чисел.
Внутри прямоугольного треугольника построили две равные окружности так, что первая касается одного из катетов и гипотенузы, вторая касается другого катета и гипотенузы, а ещё эти окружности касаются друг друга. Пусть <i>M</i> и <i>N</i> – точки касания окружностей с гипотенузой. Докажите, что середина отрезка <i>MN</i> лежит на биссектрисе прямого угла треугольника.
На кольцевой дороге через равные промежутки расположены 25 постов, на каждом стоит полицейский. Полицейские пронумерованы в каком-то порядке числами от 1 до 25. Требуется, чтобы они перешли по дороге так, чтобы снова на каждом посту был полицейский, но по часовой стрелке за номером 1 стоял номер 2, за номером 2 стоял номер 3, ..., за номером 25 стоял номер 1. Докажите, что если организовать переход так, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим, то кто-то из полицейских останется на своём посту.
Можно ли все натуральные делители числа 100! (включая 1 и само число) разбить на две группы так, чтобы в обеих группах было одинаковое количество чисел и произведение чисел первой группы равнялось произведению чисел второй группы?
Докажите, что в любом описанном около окружности многоугольнике найдутся три стороны, из которых можно составить треугольник.
Дана квадратная таблица. В каждой её клетке стоит либо плюс, либо минус, причём всего плюсов и минусов поровну.
Докажите, что или в каких-то двух строках, или в каких-то двух столбцах одинаковое количество плюсов.